Theorem 4sqlem1 13086

Description: Lemma for 4sq 13108. The set S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that S = NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem1	|- S C_ NN0

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   S, n

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. 2 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		zsqcl2 10979	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
3		zsqcl2 10979	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
4		nn0addcl 9531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
6		zsqcl2 10979	. . . . . . . 8 |- ( z e. ZZ -> ( z ^ 2 ) e. NN0 )
7		zsqcl2 10979	. . . . . . . 8 |- ( w e. ZZ -> ( w ^ 2 ) e. NN0 )
8		nn0addcl 9531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ^ 2 ) e. NN0 /\ ( w ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
10		nn0addcl 9531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 /\ ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
11	5, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
12		eleq1a 2304	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
14	13	rexlimdvva 2668	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
15	14	rexlimivv 2666	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 )
16	15	abssi 3313	. 2 |- { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } C_ NN0
17	1, 16	eqsstri 3270	1 |- S C_ NN0

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   C_ wss 3211  (class class class)co 6050   + caddc 8130   2c2 9288   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   ^cexp 10900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-exp 10901

This theorem is referenced by:  4sqlem19  13107