Theorem 4sqlem1 12951

Description: Lemma for 4sq 12973. The set S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that S = NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem1	|- S C_ NN0

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   S, n

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. 2 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		zsqcl2 10869	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
3		zsqcl2 10869	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
4		nn0addcl 9427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
6		zsqcl2 10869	. . . . . . . 8 |- ( z e. ZZ -> ( z ^ 2 ) e. NN0 )
7		zsqcl2 10869	. . . . . . . 8 |- ( w e. ZZ -> ( w ^ 2 ) e. NN0 )
8		nn0addcl 9427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ^ 2 ) e. NN0 /\ ( w ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
10		nn0addcl 9427	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 /\ ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
11	5, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
12		eleq1a 2301	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
14	13	rexlimdvva 2656	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
15	14	rexlimivv 2654	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 )
16	15	abssi 3300	. 2 |- { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } C_ NN0
17	1, 16	eqsstri 3257	1 |- S C_ NN0

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   E.wrex 2509   C_ wss 3198  (class class class)co 6013   + caddc 8025   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ^cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

This theorem is referenced by:  4sqlem19  12972