Theorem 4sqlem1 12340

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . The set S is the set of all numbers that are expressible as a sum of four squares. Our goal is to show that S = NN0; here we show one subset direction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
4sqlem1	|- S C_ NN0

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   S, n

Allowed substitution hints:   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem 4sqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. 2 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
2		zsqcl2 10553	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
3		zsqcl2 10553	. . . . . . . 8 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
4		nn0addcl 9170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
6		zsqcl2 10553	. . . . . . . 8 |- ( z e. ZZ -> ( z ^ 2 ) e. NN0 )
7		zsqcl2 10553	. . . . . . . 8 |- ( w e. ZZ -> ( w ^ 2 ) e. NN0 )
8		nn0addcl 9170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z ^ 2 ) e. NN0 /\ ( w ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
9	6, 7, 8	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 )
10		nn0addcl 9170	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 /\ ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) e. NN0 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
11	5, 9, 10	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
12		eleq1a 2242	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) e. NN0 -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. ZZ ) ) -> ( n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
14	13	rexlimdvva 2595	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 ) )
15	14	rexlimivv 2593	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) -> n e. NN0 )
16	15	abssi 3222	. 2 |- { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } C_ NN0
17	1, 16	eqsstri 3179	1 |- S C_ NN0

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   C_ wss 3121  (class class class)co 5853   + caddc 7777   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ^cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by: (None)