elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem elfzodifsumelfzo 10445

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10346	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 10346	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 10420	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 9530	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 9436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 8157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 1043	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1219	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 80	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 1041	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 121	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 124	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wcel 2202 class class class wbr 4088 (class class class)co 6017

cr 8030

cc0 8031

caddc 8034

clt 8213

cle 8214

cmin 8349

cn 9142

cn0 9401

cz 9478

cfz 10242 ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-addcom 8131 ax-addass 8133 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-inn 9143 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-fz 10243 df-fzo 10377

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 10446 swrdwrdsymbg 11244

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