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Theorem elfzodifsumelfzo 9985
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9899 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 elfz2nn0 9899 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  <->  ( N  e.  NN0  /\  P  e. 
NN0  /\  N  <_  P ) )
3 elfzo0 9966 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) ) )
4 nn0z 9081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
5 nn0z 9081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 znnsub 9112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
74, 5, 6syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
8 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  NN0 )
9 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  NN0 )
10 nn0addcl 9019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  NN0 )
13 0red 7774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
14 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
16 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
1813, 15, 173jca 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1918adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
20 nn0ge0 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2120adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
2221anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <  N
) )
23 lelttr 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
) )
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
)
2524ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  0  <  N ) )
26 0red 7774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
2716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
28 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  RR )
2928adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
30 ltletr 7860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( 0  <  N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P
) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P ) )
32 nn0z 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  ZZ )
33 elnnz 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
3433simplbi2 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3635adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3731, 36syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
3837exp4b 364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  ( N  <_  P  ->  P  e.  NN ) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  <_  P  ->  (
0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) ) )
4039imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( 0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4241adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4325, 42syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4443imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4645imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  P  e.  NN )
47 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
4847adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
4915adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  RR )
50 readdcl 7753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( I  +  M
)  e.  RR )
5148, 49, 50syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5317adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  RR )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  RR )
5554adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5628adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
5752, 55, 563jca 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( ( I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )
)
5857adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
5947adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
6015adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6259, 60, 61ltaddsubd 8314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  M )  < 
N  <->  I  <  ( N  -  M ) ) )
6362exbiri 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6564impd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( I  < 
( N  -  M
)  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( I  +  M )  <  N
) )
6665adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
I  +  M )  <  N ) )
6766imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6867adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6968anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P ) )
70 ltletr 7860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( ( I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  <  P
) )
7158, 69, 70sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
7271anasss 396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
73 elfzo0 9966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P )  <->  ( ( I  +  M )  e. 
NN0  /\  P  e.  NN  /\  ( I  +  M )  <  P
) )
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) )
7574exp53 374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
767, 75sylbird 169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77763adant3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
7877com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  (
I  <  ( N  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79783imp 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
803, 79sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
82813adant1 999 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
832, 82sylbi 120 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8483com12 30 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
851, 84sylbi 120 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8685imp 123 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    < clt 7807    <_ cle 7808    - cmin 7940   NNcn 8727   NN0cn0 8984   ZZcz 9061   ...cfz 9797  ..^cfzo 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9986
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