elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elfzodifsumelfzo		Unicode version

Theorem elfzodifsumelfzo 10009

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 9923	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 9923	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 9990	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 9098	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 9098	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 9129	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 9036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 7791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 9026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 7876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 7791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 7877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 9098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 7770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 7877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 9990	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 375	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 1002	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1176	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 120	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 80	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 1000	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 120	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 120	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 123	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wcel 1481 class class class wbr 3937 (class class class)co 5782

cr 7643

cc0 7644

caddc 7647

clt 7824

cle 7825

cmin 7957

cn 8744

cn0 9001

cz 9078

cfz 9821 ..^cfzo 9950

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-addcom 7744 ax-addass 7746 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-fz 9822 df-fzo 9951

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 10010

W3C validator