elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem elfzodifsumelfzo 10157

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10068	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 10138	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 9263	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 9170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 7921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 8008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 7921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 9222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 10138	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 375	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 169	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 1012	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1188	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 120	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 80	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 1010	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 120	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 120	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 123	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wcel 2141 class class class wbr 3989 (class class class)co 5853

cr 7773

cc0 7774

caddc 7777

clt 7954

cle 7955

cmin 8090

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cfz 9965 ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-addcom 7874 ax-addass 7876 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-id 4278 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-inn 8879 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-fz 9966 df-fzo 10099

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 10158

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