Theorem elfzodifsumelfzo 10268

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10178	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		elfz2nn0 10178	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... P ) <-> ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) )
3		elfzo0 10249	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) )
4		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
5		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		znnsub 9368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. NN0 )
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
10		nn0addcl 9275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( I + M ) e. NN0 )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
13		0red 8020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
14		nn0re 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
16		nn0re 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
18	13, 15, 17	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
20		nn0ge0 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ M )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 <_ M /\ M < N ) )
23		lelttr 8108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < N ) -> 0 < N ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> 0 < N )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> 0 < N ) )
26		0red 8020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
28		nn0re 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. RR )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
30		ltletr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
32		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. ZZ )
33		elnnz 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN <-> ( P e. ZZ /\ 0 < P ) )
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ZZ -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN0 -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( N <_ P -> P e. NN ) ) ) )
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN0 -> ( N <_ P -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> P e. NN )
47		nn0re 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. RR )
50		readdcl 7998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> ( I + M ) e. RR )
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. RR )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) e. RR )
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> N e. RR )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> N e. RR )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> N e. RR )
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> P e. RR )
57	52, 55, 56	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( I + M ) < N <-> I < ( N - M ) ) )
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I e. NN0 -> ( I < ( N - M ) -> ( I + M ) < N ) ) )
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( I + M ) < N ) ) )
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) < N )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) < N )
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) )
70		ltletr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P ) )
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P )
72	71	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) < P )
73		elfzo0 10249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + M ) e. ( 0..^ P ) <-> ( ( I + M ) e. NN0 /\ P e. NN /\ ( I + M ) < P ) )
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) )
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77	76	3adant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( I e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79	78	3imp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
81	80	com13 80	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
82	81	3adant1 1017	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
84	83	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
85	1, 84	sylbi 121	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
86	85	imp 124	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10269