elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem elfzodifsumelfzo 10407

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10308	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 10308	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 10382	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 9466	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 9466	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 9498	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 8147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 8235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 8147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 8236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 9456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 8236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 10382	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 1041	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 80	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 1039	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 121	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 124	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wcel 2200 class class class wbr 4083 (class class class)co 6001

cr 7998

cc0 7999

caddc 8002

clt 8181

cle 8182

cmin 8317

cn 9110

cn0 9369

cz 9446

cfz 10204 ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4202 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-addcom 8099 ax-addass 8101 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-id 4384 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-inn 9111 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-fz 10205 df-fzo 10339

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 10408 swrdwrdsymbg 11196

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