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Theorem elfzodifsumelfzo 9761
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9675 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 elfz2nn0 9675 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  <->  ( N  e.  NN0  /\  P  e. 
NN0  /\  N  <_  P ) )
3 elfzo0 9742 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( I  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) ) )
4 nn0z 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
5 nn0z 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
6 znnsub 8899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
74, 5, 6syl2an 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
8 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  NN0 )
9 simpll 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  NN0 )
10 nn0addcl 8806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
118, 9, 10syl2anr 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  NN0 )
1211adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  NN0 )
13 0red 7586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
14 nn0re 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
1514adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
16 nn0re 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
1716adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
1813, 15, 173jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )
)
1918adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
20 nn0ge0 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
2120adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  M )
2221anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( 0  <_  M  /\  M  <  N
) )
23 lelttr 7670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
) )
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  0  <  N
)
2524ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  0  <  N ) )
26 0red 7586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
2716adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
28 nn0re 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  RR )
2928adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
30 ltletr 7671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( 0  <  N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P
) )
3126, 27, 29, 30syl3anc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  0  <  P ) )
32 nn0z 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN0  ->  P  e.  ZZ )
33 elnnz 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
3433simplbi2 378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3635adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  P  ->  P  e.  NN ) )
3731, 36syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  < 
N  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
3837exp4b 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  ( N  <_  P  ->  P  e.  NN ) ) ) )
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  NN0  ->  ( N  <_  P  ->  (
0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) ) )
4039imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( 0  <  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  P  e.  NN ) ) )
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0  <  N  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4241adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4325, 42syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) ) )
4443imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4544adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  P  e.  NN ) )
4645imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  P  e.  NN )
47 nn0re 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  NN0  ->  I  e.  RR )
4847adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
4915adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  RR )
50 readdcl 7565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( I  +  M
)  e.  RR )
5148, 49, 50syl2anr 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5251adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  e.  RR )
5317adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  N  e.  RR )
5453adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  RR )
5554adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5628adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
5752, 55, 563jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( ( I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )
)
5857adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR ) )
5947adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
6015adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6117adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
6259, 60, 61ltaddsubd 8119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( ( I  +  M )  < 
N  <->  I  <  ( N  -  M ) ) )
6362exbiri 375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( I  +  M
)  <  N )
) )
6564impd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( I  < 
( N  -  M
)  /\  I  e.  NN0 )  ->  ( I  +  M )  <  N
) )
6665adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
I  +  M )  <  N ) )
6766imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  < 
N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6867adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  -> 
( I  +  M
)  <  N )
6968anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( (
I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P ) )
70 ltletr 7671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( I  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  (
( ( I  +  M )  <  N  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  <  P
) )
7158, 69, 70sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  /\  ( I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  P  e.  NN0 )  /\  N  <_  P
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
7271anasss 392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  <  P
)
73 elfzo0 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P )  <->  ( ( I  +  M )  e. 
NN0  /\  P  e.  NN  /\  ( I  +  M )  <  P
) )
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  M  <  N )  /\  (
I  <  ( N  -  M )  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )
)  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) )
7574exp53 370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
767, 75sylbird 169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  ->  ( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77763adant3 966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN  ->  ( I  <  ( N  -  M )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
7877com14 88 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  (
I  <  ( N  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ( P  e. 
NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79783imp 1140 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  I  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
803, 79sylbi 120 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  ( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
)  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
82813adant1 964 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  NN0  /\  N  <_  P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
832, 82sylbi 120 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... P )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8483com12 30 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
851, 84sylbi 120 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  ( 0 ... P )  -> 
( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  -> 
( I  +  M
)  e.  ( 0..^ P ) ) ) )
8685imp 123 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... P ) )  ->  ( I  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( I  +  M )  e.  ( 0..^ P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447    + caddc 7450    < clt 7619    <_ cle 7620    - cmin 7750   NNcn 8520   NN0cn0 8771   ZZcz 8848   ...cfz 9573  ..^cfzo 9702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9762
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