Theorem elfzodifsumelfzo 10277

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10187	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		elfz2nn0 10187	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... P ) <-> ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) )
3		elfzo0 10258	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) )
4		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
5		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		znnsub 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. NN0 )
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
10		nn0addcl 9284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( I + M ) e. NN0 )
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
13		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
14		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
16		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
18	13, 15, 17	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
20		nn0ge0 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ M )
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 <_ M /\ M < N ) )
23		lelttr 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < N ) -> 0 < N ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> 0 < N )
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> 0 < N ) )
26		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
28		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. RR )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
30		ltletr 8116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
32		nn0z 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. ZZ )
33		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN <-> ( P e. ZZ /\ 0 < P ) )
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ZZ -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN0 -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( N <_ P -> P e. NN ) ) ) )
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN0 -> ( N <_ P -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> P e. NN )
47		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. RR )
50		readdcl 8005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> ( I + M ) e. RR )
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. RR )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) e. RR )
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> N e. RR )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> N e. RR )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> N e. RR )
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> P e. RR )
57	52, 55, 56	3jca 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( I + M ) < N <-> I < ( N - M ) ) )
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I e. NN0 -> ( I < ( N - M ) -> ( I + M ) < N ) ) )
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( I + M ) < N ) ) )
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) < N )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) < N )
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) )
70		ltletr 8116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P ) )
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P )
72	71	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) < P )
73		elfzo0 10258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + M ) e. ( 0..^ P ) <-> ( ( I + M ) e. NN0 /\ P e. NN /\ ( I + M ) < P ) )
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) )
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77	76	3adant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( I e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79	78	3imp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
81	80	com13 80	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
82	81	3adant1 1017	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
84	83	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
85	1, 84	sylbi 121	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
86	85	imp 124	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10278