elfzodifsumelfzo - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem elfzodifsumelfzo 10600

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	$/\$ ..^ ..^

**Proof of Theorem elfzodifsumelfzo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10500	. . 3 $/\$ $/\$
2		elfz2nn0 10500	. . . . 5 $/\$ $/\$
3		elfzo0 10574	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ $/\$
4		nn0z 9646	. . . . . . . . . . . . 13
5		nn0z 9646	. . . . . . . . . . . . 13
6		znnsub 9678	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
9		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
10		nn0addcl 9580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		0red 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
14		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
18	13, 15, 17	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20		nn0ge0 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
23		lelttr 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
26		0red 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
28		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
30		ltletr 8408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		nn0z 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		elnnz 9636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		nn0re 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
50		readdcl 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	52, 55, 56	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltletr 8408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	anasss 403	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		elfzo0 10574	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ..^
77	76	3adant3 1048	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
79	78	3imp 1224	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
81	80	com13 80	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
82	81	3adant1 1046	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 $/\$ $/\$ ..^ ..^
84	83	com12 30	. . 3 $/\$ $/\$ ..^ ..^
85	1, 84	sylbi 121	. 2 ..^ ..^
86	85	imp 124	1 $/\$ ..^ ..^

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wcel 2209 class class class wbr 4128 (class class class)co 6078

cr 8171

cc0 8172

caddc 8175

clt 8353

cle 8354

cmin 8490

cn 9286

cn0 9545

cz 9626

cfz 10393 ..^cfzo 10530

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4247 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-cnex 8263 ax-resscn 8264 ax-1cn 8265 ax-1re 8266 ax-icn 8267 ax-addcl 8268 ax-addrcl 8269 ax-mulcl 8270 ax-addcom 8272 ax-addass 8274 ax-distr 8276 ax-i2m1 8277 ax-0lt1 8278 ax-0id 8280 ax-rnegex 8281 ax-cnre 8283 ax-pre-ltirr 8284 ax-pre-ltwlin 8285 ax-pre-lttrn 8286 ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-id 4436 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-fv 5383 df-riota 6031 df-ov 6081 df-oprab 6082 df-mpo 6083 df-1st 6367 df-2nd 6368 df-pnf 8355 df-mnf 8356 df-xr 8357 df-ltxr 8358 df-le 8359 df-sub 8492 df-neg 8493 df-inn 9287 df-n0 9546 df-z 9627 df-uz 9904 df-fz 10394 df-fzo 10531

This theorem is referenced by: elfzom1elp1fzo 10601 swrdwrdsymbg 11417

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