Theorem elfzodifsumelfzo 10136

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	|- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10047	. . 3 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		elfz2nn0 10047	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... P ) <-> ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) )
3		elfzo0 10117	. . . . . . . 8 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) )
4		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
5		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
6		znnsub 9242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> ( N - M ) e. NN ) )
8		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. NN0 )
9		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. NN0 )
10		nn0addcl 9149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( I + M ) e. NN0 )
11	8, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. NN0 )
13		0red 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
14		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
16		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
17	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
18	13, 15, 17	3jca 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
20		nn0ge0 9139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ M )
22	21	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( 0 <_ M /\ M < N ) )
23		lelttr 7987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < N ) -> 0 < N ) )
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> 0 < N )
25	24	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> 0 < N ) )
26		0red 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> 0 e. RR )
27	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
28		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. RR )
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> P e. RR )
30		ltletr 7988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> 0 < P ) )
32		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN0 -> P e. ZZ )
33		elnnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P e. NN <-> ( P e. ZZ /\ 0 < P ) )
34	33	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ZZ -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN0 -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
36	35	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < P -> P e. NN ) )
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0 < N /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
38	37	exp4b 365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN0 -> ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( N <_ P -> P e. NN ) ) ) )
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN0 -> ( N <_ P -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) ) )
40	39	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( 0 < N -> ( N e. NN0 -> P e. NN ) ) )
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
42	41	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) ) )
44	43	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> P e. NN ) )
46	45	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> P e. NN )
47		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( I e. NN0 -> I e. RR )
48	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
49	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> M e. RR )
50		readdcl 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( I e. RR /\ M e. RR ) -> ( I + M ) e. RR )
51	48, 49, 50	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) e. RR )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) e. RR )
53	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> N e. RR )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> N e. RR )
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> N e. RR )
56	28	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> P e. RR )
57	52, 55, 56	3jca 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
58	57	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) )
59	47	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> I e. RR )
60	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> M e. RR )
61	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> N e. RR )
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ I e. NN0 ) -> ( ( I + M ) < N <-> I < ( N - M ) ) )
63	62	exbiri 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I e. NN0 -> ( I < ( N - M ) -> ( I + M ) < N ) ) )
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( I + M ) < N ) ) )
65	64	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) -> ( ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) -> ( I + M ) < N ) )
67	66	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) -> ( I + M ) < N )
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) -> ( I + M ) < N )
69	68	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) )
70		ltletr 7988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( I + M ) e. RR /\ N e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( I + M ) < N /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P ) )
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ P e. NN0 ) /\ N <_ P ) -> ( I + M ) < P )
72	71	anasss 397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) < P )
73		elfzo0 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I + M ) e. ( 0..^ P ) <-> ( ( I + M ) e. NN0 /\ P e. NN /\ ( I + M ) < P ) )
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ M < N ) /\ ( I < ( N - M ) /\ I e. NN0 ) ) /\ ( P e. NN0 /\ N <_ P ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) )
75	74	exp53 375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
76	7, 75	sylbird 169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
77	76	3adant3 1007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( I e. NN0 -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( I e. NN0 -> ( ( N - M ) e. NN -> ( I < ( N - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) ) ) )
79	78	3imp 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ I < ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
80	3, 79	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
81	80	com13 80	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
82	81	3adant1 1005	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ P e. NN0 /\ N <_ P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
83	2, 82	sylbi 120	. . . 4 |- ( N e. ( 0 ... P ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
84	83	com12 30	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
85	1, 84	sylbi 120	. 2 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. ( 0 ... P ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) ) )
86	85	imp 123	1 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... P ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( I + M ) e. ( 0..^ P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10137