Theorem nn0sinds 10714

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0sinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0sinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9799	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0sinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nn0sinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnn0uz 9799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
5		nn0sinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 10712	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  0cc0 8037  1c1 8038   − cmin 8355  ℕ₀cn0 9407  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12592