Theorem nn0sinds 10815

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0sinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0sinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9898	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0sinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nn0sinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnn0uz 9898	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
5		nn0sinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 10813	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  0cc0 8132  1c1 8133   − cmin 8449  ℕ₀cn0 9501  ℤ_≥cuz 9859  ...cfz 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12702