Theorem nn0sinds 10701

Description: Strong (or "total") induction principle over the nonnegative integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0sinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn0sinds.2	⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn0sinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
nn0sinds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem nn0sinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0uz 9787	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
2		nn0sinds.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3		nn0sinds.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4		elnn0uz 9787	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
5		nn0sinds.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
6	4, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) → (∀𝑦 ∈ (0...(𝑥 − 1))𝜓 → 𝜑))
7	2, 3, 6	uzsinds 10699	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝜒)
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  0cc0 8025  1c1 8026   − cmin 8343  ℕ₀cn0 9395  ℤ_≥cuz 9748  ...cfz 10236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12562