Theorem nnm1 6758

Description: Multiply an element of om by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	|- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6647	. . 3 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 6061	. 2 |- ( A .o 1o ) = ( A .o suc (/) )
3		peano1 4716	. . . 4 |- (/) e. om
4		nnmsuc 6710	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
6		nnm0 6708	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
7	6	oveq1d 6065	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o A ) = ( (/) +o A ) )
8		nna0r 6711	. . 3 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
9	5, 7, 8	3eqtrd 2269	. 2 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = A )
10	2, 9	eqtrid 2277	1 |- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   suc csuc 4486   omcom 4712  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   +o coa 6644   .o comu 6645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-omul 6652

This theorem is referenced by:  nnm2  6759  mulidpi  7633  archnqq  7732  nq0a0  7772  nq02m  7780