Theorem nnm1 6350

Description: Multiply an element of om by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	|- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6243	. . 3 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 5717	. 2 |- ( A .o 1o ) = ( A .o suc (/) )
3		peano1 4446	. . . 4 |- (/) e. om
4		nnmsuc 6303	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
5	3, 4	mpan2 419	. . 3 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
6		nnm0 6301	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
7	6	oveq1d 5721	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o A ) = ( (/) +o A ) )
8		nna0r 6304	. . 3 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
9	5, 7, 8	3eqtrd 2136	. 2 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = A )
10	2, 9	syl5eq 2144	1 |- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1299   e. wcel 1448   (/)c0 3310   suc csuc 4225   omcom 4442  (class class class)co 5706   1oc1o 6236   +o coa 6240   .o comu 6241

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248

This theorem is referenced by:  nnm2  6351  mulidpi  7027  archnqq  7126  nq0a0  7166  nq02m  7174