ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 Unicode version

Theorem nnm1 6520
Description: Multiply an element of  om by  1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6411 . . 3  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 5880 . 2  |-  ( A  .o  1o )  =  ( A  .o  suc  (/) )
3 peano1 4590 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 nnmsuc 6472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
53, 4mpan2 425 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
6 nnm0 6470 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
76oveq1d 5884 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  A )  =  (
(/)  +o  A )
)
8 nna0r 6473 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
95, 7, 83eqtrd 2214 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  A )
102, 9eqtrid 2222 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   (/)c0 3422   suc csuc 4362   omcom 4586  (class class class)co 5869   1oc1o 6404    +o coa 6408    .o comu 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416
This theorem is referenced by:  nnm2  6521  mulidpi  7305  archnqq  7404  nq0a0  7444  nq02m  7452
  Copyright terms: Public domain W3C validator