ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 Unicode version

Theorem nnm1 6263
Description: Multiply an element of  om by  1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6163 . . 3  |-  1o  =  suc  (/)
21oveq2i 5645 . 2  |-  ( A  .o  1o )  =  ( A  .o  suc  (/) )
3 peano1 4399 . . . 4  |-  (/)  e.  om
4 nnmsuc 6220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
53, 4mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  A ) )
6 nnm0 6218 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
76oveq1d 5649 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  A )  =  (
(/)  +o  A )
)
8 nna0r 6221 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
+o  A )  =  A )
95, 7, 83eqtrd 2124 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  suc  (/) )  =  A )
102, 9syl5eq 2132 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  1o )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   (/)c0 3284   suc csuc 4183   omcom 4395  (class class class)co 5634   1oc1o 6156    +o coa 6160    .o comu 6161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168
This theorem is referenced by:  nnm2  6264  mulidpi  6856  archnqq  6955  nq0a0  6995  nq02m  7003
  Copyright terms: Public domain W3C validator