Theorem nnm1 6679

Description: Multiply an element of om by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	|- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6568	. . 3 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 6018	. 2 |- ( A .o 1o ) = ( A .o suc (/) )
3		peano1 4686	. . . 4 |- (/) e. om
4		nnmsuc 6631	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
6		nnm0 6629	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
7	6	oveq1d 6022	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o A ) = ( (/) +o A ) )
8		nna0r 6632	. . 3 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
9	5, 7, 8	3eqtrd 2266	. 2 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = A )
10	2, 9	eqtrid 2274	1 |- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3491   suc csuc 4456   omcom 4682  (class class class)co 6007   1oc1o 6561   +o coa 6565   .o comu 6566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573

This theorem is referenced by:  nnm2  6680  mulidpi  7516  archnqq  7615  nq0a0  7655  nq02m  7663