Theorem nnm1 6464

Description: Multiply an element of om by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnm1	|- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Proof of Theorem nnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6357	. . 3 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 5829	. 2 |- ( A .o 1o ) = ( A .o suc (/) )
3		peano1 4551	. . . 4 |- (/) e. om
4		nnmsuc 6417	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
5	3, 4	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o A ) )
6		nnm0 6415	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
7	6	oveq1d 5833	. . 3 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o A ) = ( (/) +o A ) )
8		nna0r 6418	. . 3 |- ( A e. om -> ( (/) +o A ) = A )
9	5, 7, 8	3eqtrd 2194	. 2 |- ( A e. om -> ( A .o suc (/) ) = A )
10	2, 9	syl5eq 2202	1 |- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   (/)c0 3394   suc csuc 4324   omcom 4547  (class class class)co 5818   1oc1o 6350   +o coa 6354   .o comu 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-omul 6362

This theorem is referenced by:  nnm2  6465  mulidpi  7221  archnqq  7320  nq0a0  7360  nq02m  7368