ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 GIF version

Theorem nnm1 6420
Description: Multiply an element of ω by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6313 . . 3 1o = suc ∅
21oveq2i 5785 . 2 (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3 peano1 4508 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 nnmsuc 6373 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
53, 4mpan2 421 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6 nnm0 6371 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
76oveq1d 5789 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
8 nna0r 6374 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
95, 7, 83eqtrd 2176 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = 𝐴)
102, 9syl5eq 2184 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  c0 3363  suc csuc 4287  ωcom 4504  (class class class)co 5774  1oc1o 6306   +o coa 6310   ·o comu 6311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318
This theorem is referenced by:  nnm2  6421  mulidpi  7133  archnqq  7232  nq0a0  7272  nq02m  7280
  Copyright terms: Public domain W3C validator