ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 GIF version

Theorem nnm1 6544
Description: Multiply an element of ω by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6435 . . 3 1o = suc ∅
21oveq2i 5902 . 2 (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3 peano1 4608 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 nnmsuc 6496 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
53, 4mpan2 425 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6 nnm0 6494 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
76oveq1d 5906 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
8 nna0r 6497 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
95, 7, 83eqtrd 2226 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = 𝐴)
102, 9eqtrid 2234 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2160  c0 3437  suc csuc 4380  ωcom 4604  (class class class)co 5891  1oc1o 6428   +o coa 6432   ·o comu 6433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-omul 6440
This theorem is referenced by:  nnm2  6545  mulidpi  7335  archnqq  7434  nq0a0  7474  nq02m  7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator