ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnm1 GIF version

Theorem nnm1 6297
Description: Multiply an element of ω by 1o. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)

Proof of Theorem nnm1
StepHypRef Expression
1 df-1o 6195 . . 3 1o = suc ∅
21oveq2i 5677 . 2 (𝐴 ·o 1o) = (𝐴 ·o suc ∅)
3 peano1 4422 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 nnmsuc 6252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
53, 4mpan2 417 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴))
6 nnm0 6250 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
76oveq1d 5681 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·o ∅) +o 𝐴) = (∅ +o 𝐴))
8 nna0r 6253 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ +o 𝐴) = 𝐴)
95, 7, 83eqtrd 2125 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o suc ∅) = 𝐴)
102, 9syl5eq 2133 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·o 1o) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1290  wcel 1439  c0 3287  suc csuc 4201  ωcom 4418  (class class class)co 5666  1oc1o 6188   +o coa 6192   ·o comu 6193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200
This theorem is referenced by:  nnm2  6298  mulidpi  6938  archnqq  7037  nq0a0  7077  nq02m  7085
  Copyright terms: Public domain W3C validator