Theorem iftrue 3525

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	|- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3521	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlema 959	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2285	. 2 |- ( ph -> A = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2218	1 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   ifcif 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-if 3521

This theorem is referenced by:  iftruei  3526  iftrued  3527  ifsbdc  3532  ifcldadc  3549  ifbothdadc  3551  ifbothdc  3552  ifiddc  3553  ifcldcd  3555  ifnotdc  3556  ifandc  3557  fidifsnen  6836  nnnninf  7090  nnnninf2  7091  mkvprop  7122  uzin  9498  fzprval  10017  fztpval  10018  modifeq2int  10321  bcval  10662  bcval2  10663  sumrbdclem  11318  fsum3cvg  11319  summodclem2a  11322  isumss2  11334  fsum3ser  11338  fsumsplit  11348  sumsplitdc  11373  prodrbdclem  11512  fproddccvg  11513  iprodap  11521  iprodap0  11523  prodssdc  11530  fprodsplitdc  11537  flodddiv4  11871  gcd0val  11893  dfgcd2  11947  eucalgf  11987  eucalginv  11988  eucalglt  11989  phisum  12172  pc0  12236  pcgcd  12260  pcmptcl  12272  pcmpt  12273  pcmpt2  12274  pcprod  12276  fldivp1  12278  1arithlem4  12296  unct  12375  dvexp2  13316  lgsval2lem  13551  lgsneg  13565  lgsdilem  13568  lgsdir2  13574  lgsdir  13576  lgsdi  13578  lgsne0  13579  nnsf  13885  nninfsellemsuc  13892