Theorem iftrue 3607

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	|- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3603	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlema 975	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2348	. 2 |- ( ph -> A = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2281	1 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-if 3603

This theorem is referenced by:  iftruei  3608  iftrued  3609  ifsbdc  3615  ifcldadc  3632  ifeqdadc  3635  ifbothdadc  3636  ifbothdc  3637  ifiddc  3638  ifcldcd  3640  ifnotdc  3641  2if2dc  3642  ifandc  3643  ifordc  3644  ifnefals  3647  pw2f1odclem  7003  fidifsnen  7040  nnnninf  7304  nnnninf2  7305  mkvprop  7336  iftrueb01  7419  uzin  9767  fzprval  10290  fztpval  10291  modifeq2int  10620  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  bcval  10983  bcval2  10984  ccatval1  11145  ccatalpha  11161  swrdccat  11282  pfxccat3a  11285  swrdccat3b  11287  sumrbdclem  11903  fsum3cvg  11904  summodclem2a  11907  isumss2  11919  fsum3ser  11923  fsumsplit  11933  sumsplitdc  11958  prodrbdclem  12097  fproddccvg  12098  iprodap  12106  iprodap0  12108  prodssdc  12115  fprodsplitdc  12122  flodddiv4  12462  gcd0val  12496  dfgcd2  12550  eucalgf  12592  eucalginv  12593  eucalglt  12594  phisum  12778  pc0  12842  pcgcd  12867  pcmptcl  12880  pcmpt  12881  pcmpt2  12882  pcprod  12884  fldivp1  12886  1arithlem4  12904  unct  13028  xpsfrnel  13392  znf1o  14630  dvexp2  15401  elply2  15424  elplyd  15430  ply1termlem  15431  lgsval2lem  15704  lgsneg  15718  lgsdilem  15721  lgsdir2  15727  lgsdir  15729  lgsdi  15731  lgsne0  15732  gausslemma2dlem1a  15752  2lgslem1c  15784  2lgslem3  15795  2lgs  15798  opvtxval  15837  opiedgval  15840  nnsf  16431  nninfsellemsuc  16438