Theorem iftrue 3580

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	|- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3576	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlema 972	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2325	. 2 |- ( ph -> A = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2258	1 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   {cab 2192   ifcif 3575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-if 3576

This theorem is referenced by:  iftruei  3581  iftrued  3582  ifsbdc  3588  ifcldadc  3605  ifeqdadc  3608  ifbothdadc  3609  ifbothdc  3610  ifiddc  3611  ifcldcd  3613  ifnotdc  3614  ifandc  3615  ifordc  3616  ifnefals  3619  pw2f1odclem  6946  fidifsnen  6982  nnnninf  7243  nnnninf2  7244  mkvprop  7275  iftrueb01  7354  uzin  9701  fzprval  10224  fztpval  10225  modifeq2int  10553  seqf1oglem1  10686  seqf1oglem2  10687  bcval  10916  bcval2  10917  ccatval1  11076  sumrbdclem  11763  fsum3cvg  11764  summodclem2a  11767  isumss2  11779  fsum3ser  11783  fsumsplit  11793  sumsplitdc  11818  prodrbdclem  11957  fproddccvg  11958  iprodap  11966  iprodap0  11968  prodssdc  11975  fprodsplitdc  11982  flodddiv4  12322  gcd0val  12356  dfgcd2  12410  eucalgf  12452  eucalginv  12453  eucalglt  12454  phisum  12638  pc0  12702  pcgcd  12727  pcmptcl  12740  pcmpt  12741  pcmpt2  12742  pcprod  12744  fldivp1  12746  1arithlem4  12764  unct  12888  xpsfrnel  13251  znf1o  14488  dvexp2  15259  elply2  15282  elplyd  15288  ply1termlem  15289  lgsval2lem  15562  lgsneg  15576  lgsdilem  15579  lgsdir2  15585  lgsdir  15587  lgsdi  15589  lgsne0  15590  gausslemma2dlem1a  15610  2lgslem1c  15642  2lgslem3  15653  2lgs  15656  opvtxval  15695  opiedgval  15698  nnsf  16083  nninfsellemsuc  16090