Theorem iftrue 3642

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iftrue	|- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Proof of Theorem iftrue

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3636	. 2 |- if ( ph , A , B ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) }
2		dedlema 982	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A <-> ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) ) )
3	2	abbi2dv 2359	. 2 |- ( ph -> A = { x | ( ( x e. A /\ ph ) \/ ( x e. B /\ -. ph ) ) } )
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 |- ( ph -> if ( ph , A , B ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   ifcif 3635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3636

This theorem is referenced by:  iftruei  3643  iftrued  3644  ifsbdc  3650  ifcldadc  3667  ifeqdadc  3670  ifbothdadc  3671  ifbothdc  3672  ifiddc  3673  ifcldcd  3675  ifnotdc  3676  2if2dc  3677  ifandc  3678  ifordc  3679  ifnefals  3682  pw2f1odclem  7124  fidifsnen  7162  nnnninf  7456  nnnninf2  7457  mkvprop  7488  iftrueb01  7572  uzin  9934  fzprval  10467  fztpval  10468  modifeq2int  10801  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  bcval  11165  bcval2  11166  ccatval1  11343  ccatalpha  11359  swrdccat  11485  pfxccat3a  11488  swrdccat3b  11490  sumrbdclem  12122  fsum3cvg  12123  summodclem2a  12126  isumss2  12138  fsum3ser  12142  fsumsplit  12152  sumsplitdc  12177  prodrbdclem  12316  fproddccvg  12317  iprodap  12325  iprodap0  12327  prodssdc  12334  fprodsplitdc  12341  flodddiv4  12681  gcd0val  12715  dfgcd2  12769  eucalgf  12811  eucalginv  12812  eucalglt  12813  phisum  12997  pc0  13061  pcgcd  13086  pcmptcl  13099  pcmpt  13100  pcmpt2  13101  pcprod  13103  fldivp1  13105  1arithlem4  13123  ballotfilemsima  13237  ballotfilemrv1  13242  unct  13311  xpsfrnel  13642  znf1o  14958  dvexp2  15736  elply2  15759  elplyd  15765  ply1termlem  15766  lgsval2lem  16043  lgsneg  16057  lgsdilem  16060  lgsdir2  16066  lgsdir  16068  lgsdi  16070  lgsne0  16071  gausslemma2dlem1a  16091  2lgslem1c  16123  2lgslem3  16134  2lgs  16137  opvtxval  16176  opiedgval  16179  depindlem1  16661  nnsf  16953  nninfsellemsuc  16960