Theorem nummul1c 8986

Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	|- T e. NN0
nummul1c.2	|- P e. NN0
nummul1c.3	|- A e. NN0
nummul1c.4	|- B e. NN0
nummul1c.5	|- N = ( ( T x. A ) + B )
nummul1c.6	|- D e. NN0
nummul1c.7	|- E e. NN0
nummul1c.8	|- ( ( A x. P ) + E ) = C
nummul1c.9	|- ( B x. P ) = ( ( T x. E ) + D )

Assertion

Ref	Expression
nummul1c	|- ( N x. P ) = ( ( T x. C ) + D )

Proof of Theorem nummul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 |- N = ( ( T x. A ) + B )
2		nummul1c.1	. . . . 5 |- T e. NN0
3		nummul1c.3	. . . . 5 |- A e. NN0
4		nummul1c.4	. . . . 5 |- B e. NN0
5	2, 3, 4	numcl 8950	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + B ) e. NN0
6	1, 5	eqeltri 2161	. . 3 |- N e. NN0
7		nummul1c.2	. . 3 |- P e. NN0
8	6, 7	num0u 8948	. 2 |- ( N x. P ) = ( ( N x. P ) + 0 )
9		0nn0 8749	. . 3 |- 0 e. NN0
10	2, 9	num0h 8949	. . 3 |- 0 = ( ( T x. 0 ) + 0 )
11		nummul1c.6	. . 3 |- D e. NN0
12		nummul1c.7	. . 3 |- E e. NN0
13	12	nn0cni 8746	. . . . . 6 |- E e. CC
14	13	addid2i 7686	. . . . 5 |- ( 0 + E ) = E
15	14	oveq2i 5677	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + ( 0 + E ) ) = ( ( A x. P ) + E )
16		nummul1c.8	. . . 4 |- ( ( A x. P ) + E ) = C
17	15, 16	eqtri 2109	. . 3 |- ( ( A x. P ) + ( 0 + E ) ) = C
18	4, 7	num0u 8948	. . . 4 |- ( B x. P ) = ( ( B x. P ) + 0 )
19		nummul1c.9	. . . 4 |- ( B x. P ) = ( ( T x. E ) + D )
20	18, 19	eqtr3i 2111	. . 3 |- ( ( B x. P ) + 0 ) = ( ( T x. E ) + D )
21	2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20	nummac 8982	. 2 |- ( ( N x. P ) + 0 ) = ( ( T x. C ) + D )
22	8, 21	eqtri 2109	1 |- ( N x. P ) = ( ( T x. C ) + D )

Syntax hints:   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5666   0cc0 7411   + caddc 7414   x. cmul 7416   NN0cn0 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7716  df-inn 8484  df-n0 8735

This theorem is referenced by:  nummul2c  8987  decmul1  9001  decmul1c  9002