ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummul2c GIF version

Theorem nummul2c 8980
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 8943 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2161 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
76nn0cni 8739 . 2 𝑁 ∈ ℂ
8 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
98nn0cni 8739 . 2 𝑃 ∈ ℂ
10 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
11 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
123nn0cni 8739 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 9mulcomi 7548 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1413oveq1i 5676 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
1614, 15eqtri 2109 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
174nn0cni 8739 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
18 nummul2c.8 . . . 4 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
199, 17, 18mulcomli 7549 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 8979 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
217, 9, 20mulcomli 7549 1 (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1290  wcel 1439  (class class class)co 5666   + caddc 7407   · cmul 7409  0cn0 8727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709  df-inn 8477  df-n0 8728
This theorem is referenced by:  decmul2c  8996
  Copyright terms: Public domain W3C validator