Theorem nummul2c 8980

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 8943	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2161	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 8739	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 8739	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
10		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	3	nn0cni 8739	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12, 9	mulcomi 7548	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
14	13	oveq1i 5676	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15		nummul2c.7	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
16	14, 15	eqtri 2109	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	4	nn0cni 8739	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
18		nummul2c.8	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
19	9, 17, 18	mulcomli 7549	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 8979	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
21	7, 9, 20	mulcomli 7549	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666   + caddc 7407   · cmul 7409  ℕ₀cn0 8727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709  df-inn 8477  df-n0 8728

This theorem is referenced by:  decmul2c  8996