ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummul2c GIF version

Theorem nummul2c 9199
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 9162 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2190 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
76nn0cni 8957 . 2 𝑁 ∈ ℂ
8 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
98nn0cni 8957 . 2 𝑃 ∈ ℂ
10 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
11 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
123nn0cni 8957 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 9mulcomi 7740 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1413oveq1i 5752 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
1614, 15eqtri 2138 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
174nn0cni 8957 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
18 nummul2c.8 . . . 4 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
199, 17, 18mulcomli 7741 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 9198 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
217, 9, 20mulcomli 7741 1 (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1316  wcel 1465  (class class class)co 5742   + caddc 7591   · cmul 7593  0cn0 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-inn 8689  df-n0 8946
This theorem is referenced by:  decmul2c  9215
  Copyright terms: Public domain W3C validator