ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nummul2c GIF version

Theorem nummul2c 9447
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 9410 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2260 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
76nn0cni 9202 . 2 𝑁 ∈ ℂ
8 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
98nn0cni 9202 . 2 𝑃 ∈ ℂ
10 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
11 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
123nn0cni 9202 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 9mulcomi 7977 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1413oveq1i 5898 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
1614, 15eqtri 2208 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
174nn0cni 9202 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
18 nummul2c.8 . . . 4 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
199, 17, 18mulcomli 7978 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 9446 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
217, 9, 20mulcomli 7978 1 (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1363  wcel 2158  (class class class)co 5888   + caddc 7828   · cmul 7830  0cn0 9190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144  df-inn 8934  df-n0 9191
This theorem is referenced by:  decmul2c  9463
  Copyright terms: Public domain W3C validator