Theorem nummul2c 9560

Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 9523	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2279	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 9314	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
8		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 9314	. 2 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
10		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
11		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
12	3	nn0cni 9314	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
13	12, 9	mulcomi 8085	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
14	13	oveq1i 5961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15		nummul2c.7	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
16	14, 15	eqtri 2227	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	4	nn0cni 9314	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
18		nummul2c.8	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
19	9, 17, 18	mulcomli 8086	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	2, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19	nummul1c 9559	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
21	7, 9, 20	mulcomli 8086	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951   + caddc 7935   · cmul 7937  ℕ₀cn0 9302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-sub 8252  df-inn 9044  df-n0 9303

This theorem is referenced by:  decmul2c  9576