Theorem oa1suc 6315

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	|- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6265	. . . 4 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 5737	. . 3 |- ( A +o 1o ) = ( A +o suc (/) )
3		peano1 4466	. . . 4 |- (/) e. om
4		onasuc 6314	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. om ) -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
5	3, 4	mpan2 419	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
6	2, 5	syl5eq 2157	. 2 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc ( A +o (/) ) )
7		oa0 6305	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
8		suceq 4282	. . 3 |- ( ( A +o (/) ) = A -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. On -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
10	6, 9	eqtrd 2145	1 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1312   e. wcel 1461   (/)c0 3327   Oncon0 4243   suc csuc 4245   omcom 4462  (class class class)co 5726   1oc1o 6258   +o coa 6262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-irdg 6219  df-1o 6265  df-oadd 6269

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6316  oawordriexmid  6318  nnaordex  6375  indpi  7092  prarloclemlo  7244