Theorem oa1suc 6450

Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
oa1suc	|- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Proof of Theorem oa1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 6399	. . . 4 |- 1o = suc (/)
2	1	oveq2i 5868	. . 3 |- ( A +o 1o ) = ( A +o suc (/) )
3		peano1 4579	. . . 4 |- (/) e. om
4		onasuc 6449	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ (/) e. om ) -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
5	3, 4	mpan2 423	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o suc (/) ) = suc ( A +o (/) ) )
6	2, 5	eqtrid 2216	. 2 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc ( A +o (/) ) )
7		oa0 6440	. . 3 |- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A )
8		suceq 4388	. . 3 |- ( ( A +o (/) ) = A -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. On -> suc ( A +o (/) ) = suc A )
10	6, 9	eqtrd 2204	1 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1349   e. wcel 2142   (/)c0 3415   Oncon0 4349   suc csuc 4351   omcom 4575  (class class class)co 5857   1oc1o 6392   +o coa 6396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-irdg 6353  df-1o 6399  df-oadd 6403

This theorem is referenced by:  o1p1e2  6451  oawordriexmid  6453  nnaordex  6511  indpi  7308  prarloclemlo  7460