Theorem oav 6422

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oav

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6412	. . 3 |- ( x e. _V |-> suc x ) Fn _V
2	1	rdgexgg 6346	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V )
3		rdgeq2 6340	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) = rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) )
4	3	fveq1d 5488	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) )
5		fveq2 5486	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
6		df-oadd 6388	. . 3 |- +o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) )
7	4, 5, 6	ovmpog 5976	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
8	2, 7	mpd3an3 1328	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   |-> cmpt 4043   Oncon0 4341   suc csuc 4343   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   reccrdg 6337   +o coa 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388

This theorem is referenced by:  oa0  6425  oacl  6428  oav2  6431  oawordi  6437