Theorem oav 6433

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oav

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6423	. . 3 |- ( x e. _V |-> suc x ) Fn _V
2	1	rdgexgg 6357	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V )
3		rdgeq2 6351	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) = rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) )
4	3	fveq1d 5498	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) )
5		fveq2 5496	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
6		df-oadd 6399	. . 3 |- +o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) )
7	4, 5, 6	ovmpog 5987	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
8	2, 7	mpd3an3 1333	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   |-> cmpt 4050   Oncon0 4348   suc csuc 4350   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   reccrdg 6348   +o coa 6392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399

This theorem is referenced by:  oa0  6436  oacl  6439  oav2  6442  oawordi  6448