Theorem oav 6512

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oav

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6502	. . 3 |- ( x e. _V |-> suc x ) Fn _V
2	1	rdgexgg 6436	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V )
3		rdgeq2 6430	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) = rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) )
4	3	fveq1d 5560	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) )
5		fveq2 5558	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
6		df-oadd 6478	. . 3 |- +o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) )
7	4, 5, 6	ovmpog 6057	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
8	2, 7	mpd3an3 1349	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4094   Oncon0 4398   suc csuc 4400   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   reccrdg 6427   +o coa 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478

This theorem is referenced by:  oa0  6515  oacl  6518  oav2  6521  oawordi  6527