Theorem oav 6445

Description: Value of ordinal addition. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem oav

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oafnex 6435	. . 3 |- ( x e. _V |-> suc x ) Fn _V
2	1	rdgexgg 6369	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V )
3		rdgeq2 6363	. . . 4 |- ( y = A -> rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) = rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) )
4	3	fveq1d 5509	. . 3 |- ( y = A -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) )
5		fveq2 5507	. . 3 |- ( z = B -> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` z ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
6		df-oadd 6411	. . 3 |- +o = ( y e. On , z e. On |-> ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , y ) ` z ) )
7	4, 5, 6	ovmpog 5999	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) e. _V ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )
8	2, 7	mpd3an3 1338	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> suc x ) , A ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   |-> cmpt 4059   Oncon0 4357   suc csuc 4359   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   reccrdg 6360   +o coa 6404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-oadd 6411

This theorem is referenced by:  oa0  6448  oacl  6451  oav2  6454  oawordi  6460