Theorem fzind 9297

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind.5	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
fzind.6	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x <_ N <-> M <_ N ) )
2	1	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
4	2, 3	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) ) )
5		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x <_ N <-> y <_ N ) )
6	5	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) ) )
9		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
10	9	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12	10, 11	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
13		breq1 3979	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = K -> ( x <_ N <-> K <_ N ) )
14	13	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) ) )
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
18	17	3expib 1195	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) )
19		zre 9186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
20		zre 9186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
21		p1le 8735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> y <_ N )
22	21	3expia 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
23	19, 20, 22	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
24	23	imdistanda 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
25	24	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
26	25	3ad2ant2 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
27		zltp1le 9236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
28	27	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
29	28	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) ) )
30	29	pm5.32d 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
31	30	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
33	32	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
34	33	3expa 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
35	34	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
36	31, 35	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
37	36	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) )
38	37	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
39	38	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) ) )
40	39	3impib 1190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( N e. ZZ -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
42	41	impd 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
44	26, 43	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
45	4, 8, 12, 16, 18, 44	uzind 9293	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) )
46	45	expcomd 1428	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
47	46	3expb 1193	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K ) ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
48	47	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( M e. ZZ -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
49	48	com23 78	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
50	49	3impia 1189	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
51	50	impd 252	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ta ) )
52	51	impcom 124	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   1c1 7745   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   ZZcz 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183

This theorem is referenced by:  fnn0ind  9298  fzind2  10164