Theorem fzind 9327

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind.5	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
fzind.6	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x <_ N <-> M <_ N ) )
2	1	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
4	2, 3	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) ) )
5		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x <_ N <-> y <_ N ) )
6	5	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) ) )
9		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
10	9	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12	10, 11	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
13		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = K -> ( x <_ N <-> K <_ N ) )
14	13	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) ) )
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
18	17	3expib 1201	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) )
19		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
20		zre 9216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
21		p1le 8765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> y <_ N )
22	21	3expia 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
23	19, 20, 22	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
24	23	imdistanda 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
25	24	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
26	25	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
27		zltp1le 9266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
28	27	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
29	28	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) ) )
30	29	pm5.32d 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
31	30	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
33	32	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
34	33	3expa 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
35	34	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
36	31, 35	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
37	36	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) )
38	37	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
39	38	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) ) )
40	39	3impib 1196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( N e. ZZ -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
42	41	impd 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
44	26, 43	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
45	4, 8, 12, 16, 18, 44	uzind 9323	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) )
46	45	expcomd 1434	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
47	46	3expb 1199	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K ) ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
48	47	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( M e. ZZ -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
49	48	com23 78	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
50	49	3impia 1195	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
51	50	impd 252	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ta ) )
52	51	impcom 124	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  fnn0ind  9328  fzind2  10195