Theorem fzind 9190

Description: Induction on the integers from M to N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind.1	|- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
fzind.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
fzind.3	|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
fzind.4	|- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
fzind.5	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
fzind.6	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fzind	|- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, K   x, M, y   x, N, y   ch, x   ph, y   ps, x   ta, x   th, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   K( y)

Proof of Theorem fzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3940	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( x <_ N <-> M <_ N ) )
2	1	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3		fzind.1	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( ph <-> ps ) )
4	2, 3	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) ) )
5		breq1 3940	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x <_ N <-> y <_ N ) )
6	5	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
7		fzind.2	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
8	6, 7	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) ) )
9		breq1 3940	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
10	9	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
11		fzind.3	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
12	10, 11	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
13		breq1 3940	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = K -> ( x <_ N <-> K <_ N ) )
14	13	anbi2d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) <-> ( N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
15		fzind.4	. . . . . . . . . 10 |- ( x = K -> ( ph <-> ta ) )
16	14, 15	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( x = K -> ( ( ( N e. ZZ /\ x <_ N ) -> ph ) <-> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) ) )
17		fzind.5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps )
18	17	3expib 1185	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ps ) )
19		zre 9082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
20		zre 9082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
21		p1le 8631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> y <_ N )
22	21	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
23	19, 20, 22	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> y <_ N ) )
24	23	imdistanda 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ y <_ N ) ) )
25	24	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
26	25	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) ) )
27		zltp1le 9132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
28	27	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ N e. ZZ ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) )
29	28	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( y < N <-> ( y + 1 ) <_ N ) ) )
30	29	pm5.32d 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
31	30	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) <-> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) ) )
32		fzind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) ) -> ( ch -> th ) )
33	32	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. ZZ /\ M <_ y /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
34	33	3expa 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ch -> th ) ) )
35	34	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ y < N ) -> ( ch -> th ) ) )
36	31, 35	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
37	36	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) ) )
38	37	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
39	38	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> ( ( y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) ) )
40	39	3impib 1180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ch -> th ) ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( N e. ZZ -> ( ( y + 1 ) <_ N -> ( ch -> th ) ) ) )
42	41	impd 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ( ch -> th ) ) )
43	42	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
44	26, 43	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ /\ M <_ y ) -> ( ( ( N e. ZZ /\ y <_ N ) -> ch ) -> ( ( N e. ZZ /\ ( y + 1 ) <_ N ) -> th ) ) )
45	4, 8, 12, 16, 18, 44	uzind 9186	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( ( N e. ZZ /\ K <_ N ) -> ta ) )
46	45	expcomd 1418	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
47	46	3expb 1183	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K ) ) -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
48	47	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( M e. ZZ -> ( K <_ N -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
49	48	com23 78	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ N -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) ) )
50	49	3impia 1179	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ta ) ) )
51	50	impd 252	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ta ) )
52	51	impcom 124	1 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  fnn0ind  9191  fzind2  10047