Theorem p1le 8870

Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
p1le	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem p1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lep1 8866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3		peano2re 8157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4	3	ancli 323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ))
5		letr 8104	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	5	3expa 1205	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
7	4, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
8	2, 7	mpand 429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
9	8	3impia 1202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  1c1 7875   + caddc 7877   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  fzind  9435