Theorem p1le 9007

Description: A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
p1le	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem p1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lep1 9003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
3		peano2re 8293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4	3	ancli 323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ))
5		letr 8240	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	5	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
7	4, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
8	2, 7	mpand 429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
9	8	3impia 1224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  1c1 8011   + caddc 8013   ≤ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  fzind  9573