Theorem peano2nnd 9328

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		peano2nn 9325	. 2 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   1c1 8186   + caddc 8188   NNcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314

This theorem is used by:  exp3vallem  10998  bcpasc  11226  caucvgre  11769  resqrexlemdecn  11800  cvgratnnlemmn  12317  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemabsle  12319  eftlub  12482  eirraplem  12569  infpnlem1  13167  infpnlem2  13168  1arith  13175  oddennn  13341  exmidunben  13375  nninfdclemp1  13399  nninfdclemlt  13400  perfectlem1  16299  perfectlem2  16300  bclbnd  16307  lgsdilem2  16360  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321