Theorem peano2nnd 9301

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		peano2nn 9298	. 2 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6078   1c1 8173   + caddc 8175   NNcn 9286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1re 8266  ax-addrcl 8269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6081  df-inn 9287

This theorem is referenced by:  exp3vallem  10958  bcpasc  11185  caucvgre  11728  resqrexlemdecn  11759  cvgratnnlemmn  12273  cvgratnnlemseq  12274  cvgratnnlemabsle  12275  eftlub  12438  eirraplem  12525  infpnlem1  13119  infpnlem2  13120  1arith  13127  oddennn  13264  exmidunben  13298  nninfdclemp1  13322  nninfdclemlt  13323  perfectlem1  16030  perfectlem2  16031  lgsdilem2  16072  cvgcmp2nlemabs  16989  trilpolemeq1  16997  trilpolemlt1  16998  nconstwlpolemgt0  17022