Theorem peano2nnd 8872

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		peano2nn 8869	. 2 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   NNcn 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-inn 8858

This theorem is referenced by:  exp3vallem  10456  bcpasc  10679  caucvgre  10923  resqrexlemdecn  10954  cvgratnnlemmn  11466  cvgratnnlemseq  11467  cvgratnnlemabsle  11468  eftlub  11631  eirraplem  11717  infpnlem1  12289  infpnlem2  12290  1arith  12297  oddennn  12325  exmidunben  12359  nninfdclemp1  12383  nninfdclemlt  12384  lgsdilem2  13577  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemeq1  13919  trilpolemlt1  13920  nconstwlpolemgt0  13942