Theorem peano2nnd 9022

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		peano2nn 9019	. 2 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   1c1 7897   + caddc 7899   NNcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  exp3vallem  10649  bcpasc  10875  caucvgre  11163  resqrexlemdecn  11194  cvgratnnlemmn  11707  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemabsle  11709  eftlub  11872  eirraplem  11959  infpnlem1  12553  infpnlem2  12554  1arith  12561  oddennn  12634  exmidunben  12668  nninfdclemp1  12692  nninfdclemlt  12693  perfectlem1  15319  perfectlem2  15320  lgsdilem2  15361  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  nconstwlpolemgt0  15795