Theorem cvgratnnlemabsle 11494

Description: Lemma for cvgratnn 11498. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnn.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgratnn.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemabsle	|- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A ^ ( i - M ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   i, F, k   i, M, k   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem cvgratnnlemabsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
2	1	nnzd 9337	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	peano2zd 9341	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
4		cvgratnn.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzelz 9500	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	3, 6	fzfigd 10391	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
8		fveq2 5499	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
9	8	eleq1d 2240	. . . . . 6 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` i ) e. CC ) )
10		cvgratnn.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
11	10	ralrimiva 2544	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
12	11	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
13		elfzelz 9985	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> i e. ZZ )
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> i e. ZZ )
15		0red 7925	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 e. RR )
16	1	peano2nnd 8897	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
17	16	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( M + 1 ) e. NN )
18	17	nnred 8895	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
19	14	zred 9338	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> i e. RR )
20	16	nngt0d 8926	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( M + 1 ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 < ( M + 1 ) )
22		elfzle1 9987	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( M + 1 ) <_ i )
23	22	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( M + 1 ) <_ i )
24	15, 18, 19, 21, 23	ltletrd 8346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 < i )
25		elnnz 9226	. . . . . . 7 |- ( i e. NN <-> ( i e. ZZ /\ 0 < i ) )
26	14, 24, 25	sylanbrc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> i e. NN )
27	9, 12, 26	rspcdva 2840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` i ) e. CC )
28	7, 27	fsumcl 11367	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) e. CC )
29	28	abscld 11149	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) ) e. RR )
30	27	abscld 11149	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( F ` i ) ) e. RR )
31	7, 30	fsumrecl 11368	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( abs ` ( F ` i ) ) e. RR )
32		fveq2 5499	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
33	32	eleq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
34	33, 11, 1	rspcdva 2840	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
35	34	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( F ` M ) e. CC )
36	35	abscld 11149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
37		cvgratnn.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
38	37	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. RR )
39	2	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M e. ZZ )
40	14, 39	zsubcld 9343	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( i - M ) e. ZZ )
41	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M e. NN )
42	41	nnred 8895	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M e. RR )
43	42	lep1d 8851	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M <_ ( M + 1 ) )
44	42, 18, 19, 43, 23	letrd 8047	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M <_ i )
45	19, 42	subge0d 8458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 0 <_ ( i - M ) <-> M <_ i ) )
46	44, 45	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( i - M ) )
47		elnn0z 9229	. . . . . . 7 |- ( ( i - M ) e. NN0 <-> ( ( i - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( i - M ) ) )
48	40, 46, 47	sylanbrc 415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( i - M ) e. NN0 )
49	38, 48	reexpcld 10630	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A ^ ( i - M ) ) e. RR )
50	36, 49	remulcld 7954	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) e. RR )
51	7, 50	fsumrecl 11368	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) e. RR )
52	7, 27	fsumabs 11432	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( abs ` ( F ` i ) ) )
53		cvgratnn.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A < 1 )
54	53	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A < 1 )
55		cvgratnn.gt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < A )
56	55	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 < A )
57	10	adantlr 475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
58		cvgratnn.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
59	58	adantlr 475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
60		eluz2 9497	. . . . . 6 |- ( i e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ i e. ZZ /\ M <_ i ) )
61	39, 14, 44, 60	syl3anbrc 1177	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> i e. ( ZZ>= ` M ) )
62	38, 54, 56, 57, 59, 41, 61	cvgratnnlemmn 11492	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( F ` i ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) )
63	7, 30, 50, 62	fsumle 11430	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( abs ` ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) )
64	29, 31, 51, 52, 63	letrd 8047	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) )
65	34	abscld 11149	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
66	65	recnd 7952	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
67	38	recnd 7952	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. CC )
68	67, 48	expcld 10613	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( A ^ ( i - M ) ) e. CC )
69	7, 66, 68	fsummulc2 11415	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A ^ ( i - M ) ) ) = sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( i - M ) ) ) )
70	64, 69	breqtrrd 4018	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( F ` i ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. sum_ i e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( A ^ ( i - M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   class class class wbr 3990   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   CCcc 7776   RRcr 7777   0cc0 7778   1c1 7779   + caddc 7781   x. cmul 7783   < clt 7958   <_ cle 7959   - cmin 8094   NNcn 8882   NN0cn0 9139   ZZcz 9216   ZZ>=cuz 9491   ...cfz 9969   ^cexp 10479   abscabs 10965   sum_csu 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-irdg 6353  df-frec 6374  df-1o 6399  df-oadd 6403  df-er 6517  df-en 6723  df-dom 6724  df-fin 6725  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-q 9583  df-rp 9615  df-ico 9855  df-fz 9970  df-fzo 10103  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-ihash 10714  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-clim 11246  df-sumdc 11321

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11497