ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnd GIF version

Theorem peano2nnd 8742
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 8739 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1480  (class class class)co 5774  1c1 7628   + caddc 7630  cn 8727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1re 7721  ax-addrcl 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-inn 8728
This theorem is referenced by:  exp3vallem  10301  bcpasc  10519  caucvgre  10760  resqrexlemdecn  10791  cvgratnnlemmn  11301  cvgratnnlemseq  11302  cvgratnnlemabsle  11303  eftlub  11403  eirraplem  11490  oddennn  11912  exmidunben  11946  cvgcmp2nlemabs  13257  trilpolemeq1  13263  trilpolemlt1  13264
  Copyright terms: Public domain W3C validator