ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2nnd GIF version

Theorem peano2nnd 8864
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 8861 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 14 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2135  (class class class)co 5837  1c1 7746   + caddc 7748  cn 8849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1re 7839  ax-addrcl 7842
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2724  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-iota 5148  df-fv 5191  df-ov 5840  df-inn 8850
This theorem is referenced by:  exp3vallem  10447  bcpasc  10669  caucvgre  10913  resqrexlemdecn  10944  cvgratnnlemmn  11456  cvgratnnlemseq  11457  cvgratnnlemabsle  11458  eftlub  11621  eirraplem  11707  infpnlem1  12278  infpnlem2  12279  1arith  12286  oddennn  12288  exmidunben  12322  nninfdclemp1  12346  nninfdclemlt  12347  cvgcmp2nlemabs  13773  trilpolemeq1  13781  trilpolemlt1  13782  nconstwlpolemgt0  13804
  Copyright terms: Public domain W3C validator