Theorem peano2nnd 9088

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 9085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5969  1c1 7963   + caddc 7965  ℕcn 9073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1re 8056  ax-addrcl 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-iota 5252  df-fv 5299  df-ov 5972  df-inn 9074

This theorem is referenced by:  exp3vallem  10724  bcpasc  10950  caucvgre  11453  resqrexlemdecn  11484  cvgratnnlemmn  11997  cvgratnnlemseq  11998  cvgratnnlemabsle  11999  eftlub  12162  eirraplem  12249  infpnlem1  12843  infpnlem2  12844  1arith  12851  oddennn  12924  exmidunben  12958  nninfdclemp1  12982  nninfdclemlt  12983  perfectlem1  15632  perfectlem2  15633  lgsdilem2  15674  cvgcmp2nlemabs  16281  trilpolemeq1  16289  trilpolemlt1  16290  nconstwlpolemgt0  16313