Theorem peano2nnd 9163

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		peano2nn 9160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  1c1 8038   + caddc 8040  ℕcn 9148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-iota 5288  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149

This theorem is referenced by:  exp3vallem  10808  bcpasc  11034  caucvgre  11564  resqrexlemdecn  11595  cvgratnnlemmn  12109  cvgratnnlemseq  12110  cvgratnnlemabsle  12111  eftlub  12274  eirraplem  12361  infpnlem1  12955  infpnlem2  12956  1arith  12963  oddennn  13036  exmidunben  13070  nninfdclemp1  13094  nninfdclemlt  13095  perfectlem1  15752  perfectlem2  15753  lgsdilem2  15794  cvgcmp2nlemabs  16703  trilpolemeq1  16711  trilpolemlt1  16712  nconstwlpolemgt0  16736