Theorem cvgcmp2nlemabs 15676

Description: Lemma for cvgcmp2n 15677. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting ( seq 1 ( + , G ) ` N ) as the sum of ( seq 1 ( + , G ) ` M ) and a term which gets smaller as M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgcmp2nlemabs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2nlemabs	|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
2		cvgcmp2nlemabs.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
3		cvgcmp2nlemabs.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluznn 9674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
6		elnnuz 9638	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		elnnuz 9638	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		cvgcmp2n.cl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 8055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
11	8, 10	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
12	1, 7, 11	fsum3ser 11562	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
13		nnuz 9637	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	2, 13	eleqtrdi 2289	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	1, 14, 11	fsum3ser 11562	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
16	12, 15	oveq12d 5940	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
17	2	nnred 9003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
18	17	ltp1d 8957	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
19		fzdisj 10127	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
21		eluzle 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ N )
23		elfz1b 10165	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
24	2, 5, 22, 23	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
25		fzsplit 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
27		1zzd 9353	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28	5	nnzd 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
29	27, 28	fzfigd 10523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
30		elfznn 10129	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
31	30, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	20, 26, 29, 31	fsumsplit 11572	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) )
33	32	eqcomd 2202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) )
34	29, 31	fsumcl 11565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) e. CC )
35	2	nnzd 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	27, 35	fzfigd 10523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
37		elfznn 10129	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
38	37, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
39	36, 38	fsumcl 11565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) e. CC )
40	35	peano2zd 9451	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
41	40, 28	fzfigd 10523	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
42	2	peano2nnd 9005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
43		elfzuz 10096	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
44		eluznn 9674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
46	45, 10	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
47	41, 46	fsumcl 11565	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. CC )
48	34, 39, 47	subaddd 8355	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) ) )
49	33, 48	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
50	16, 49	eqtr3d 2231	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
51	45, 9	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 11566	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) e. RR )
54	42	nnzd 9447	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
55	54, 28	fzfigd 10523	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
56		cvgcmp2n.ge0	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
57	45, 56	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
58	55, 51, 57	fsumge0 11624	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
59	58, 50	breqtrrd 4061	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
60	53, 59	absidd 11332	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
61	60, 50	eqtrd 2229	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
62		halfre 9204	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
64	42	nnnn0d 9302	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	reexpcld 10782	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
66	5	peano2nnd 9005	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
67	66	nnnn0d 9302	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
68	63, 67	reexpcld 10782	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
69	65, 68	resubcld 8407	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
70		1mhlfehlf 9209	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
71		2rp 9733	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 9755	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74	70, 73	eqeltri 2269	. . . . 5 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+
75	74	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+ )
76	69, 75	rerpdivcld 9803	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
77	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
78	2	nnrpd 9769	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR+ )
79	77, 78	rpdivcld 9789	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR+ )
80	79	rpred 9771	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR )
81	71	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. RR+ )
82	45	nnzd 9447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ZZ )
83	81, 82	rpexpcld 10789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
84	83	rprecred 9783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
85		cvgcmp2n.lt	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
86	45, 85	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
87	41, 51, 84, 86	fsumle 11628	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
88		2cnd 9063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. CC )
89	81	rpap0d 9777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 # 0 )
90	88, 89, 82	exprecapd 10773	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
91	90	eqcomd 2202	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92	91	sumeq2dv 11533	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
93	87, 92	breqtrd 4059	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94		fzval3 10280	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
95	28, 94	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
96	95	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
97	93, 96	breqtrd 4059	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
98		halfcn 9205	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. CC
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
100		1re 8025	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
101		halflt1 9208	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
102	62, 100, 101	ltapii 8662	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
103	102	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) # 1 )
104		eluzp1p1 9627	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
105	3, 104	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
106	99, 103, 64, 105	geosergap 11671	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
107	97, 106	breqtrd 4059	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
108	73	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
109	28	peano2zd 9451	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
110	108, 109	rpexpcld 10789	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR+ )
111	110	rpred 9771	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
112	65, 111	resubcld 8407	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
113	2	nnrecred 9037	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
114	65, 110	ltsubrpd 9804	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) )
115		2cnd 9063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
116	77	rpap0d 9777	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
117	115, 116, 40	exprecapd 10773	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
118	42	nnred 9003	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
119	77, 40	rpexpcld 10789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpred 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
121		2z 9354	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
122		uzid 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
125		bernneq3 10754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
126	124, 64, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
127	17, 118, 120, 18, 126	lttrd 8152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
128	78, 119	ltrecd 9790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) ) )
129	127, 128	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
130	117, 129	eqbrtrd 4055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) < ( 1 / M ) )
131	112, 65, 113, 114, 130	lttrd 8152	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
132	112, 113, 77, 131	ltmul1dd 9827	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) < ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
133	70	oveq2i 5933	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) )
134	112	recnd 8055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. CC )
135		1cnd 8042	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		1ap0 8617	. . . . . . . 8 |- 1 # 0
137	136	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 # 0 )
138	134, 135, 115, 137, 116	divdivap2d 8850	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
139	133, 138	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
140	134, 115	mulcld 8047	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
141	140	div1d 8807	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
142	139, 141	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
143	17	recnd 8055	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
144	2	nnap0d 9036	. . . . 5 |- ( ph -> M # 0 )
145	115, 143, 144	divrecap2d 8821	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) = ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
146	132, 142, 145	3brtr4d 4065	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) < ( 2 / M ) )
147	52, 76, 80, 107, 146	lelttrd 8151	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) < ( 2 / M ) )
148	61, 147	eqbrtrd 4055	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   RR+crp 9728   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217   seqcseq 10539   ^cexp 10630   abscabs 11162   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  15677