Theorem cvgcmp2nlemabs 16572

Description: Lemma for cvgcmp2n 16573. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting ( seq 1 ( + , G ) ` N ) as the sum of ( seq 1 ( + , G ) ` M ) and a term which gets smaller as M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgcmp2nlemabs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2nlemabs	|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
2		cvgcmp2nlemabs.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
3		cvgcmp2nlemabs.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluznn 9824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
6		elnnuz 9783	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		elnnuz 9783	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		cvgcmp2n.cl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 8198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
11	8, 10	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
12	1, 7, 11	fsum3ser 11948	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
13		nnuz 9782	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	2, 13	eleqtrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	1, 14, 11	fsum3ser 11948	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
16	12, 15	oveq12d 6031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
17	2	nnred 9146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
18	17	ltp1d 9100	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
19		fzdisj 10277	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
21		eluzle 9758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ N )
23		elfz1b 10315	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
24	2, 5, 22, 23	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
25		fzsplit 10276	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
27		1zzd 9496	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28	5	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
29	27, 28	fzfigd 10683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
30		elfznn 10279	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
31	30, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	20, 26, 29, 31	fsumsplit 11958	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) )
33	32	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) )
34	29, 31	fsumcl 11951	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) e. CC )
35	2	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	27, 35	fzfigd 10683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
37		elfznn 10279	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
38	37, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
39	36, 38	fsumcl 11951	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) e. CC )
40	35	peano2zd 9595	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
41	40, 28	fzfigd 10683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
42	2	peano2nnd 9148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
43		elfzuz 10246	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
44		eluznn 9824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
46	45, 10	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
47	41, 46	fsumcl 11951	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. CC )
48	34, 39, 47	subaddd 8498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) ) )
49	33, 48	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
50	16, 49	eqtr3d 2264	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
51	45, 9	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 11952	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) e. RR )
54	42	nnzd 9591	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
55	54, 28	fzfigd 10683	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
56		cvgcmp2n.ge0	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
57	45, 56	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
58	55, 51, 57	fsumge0 12010	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
59	58, 50	breqtrrd 4114	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
60	53, 59	absidd 11718	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
61	60, 50	eqtrd 2262	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
62		halfre 9347	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
64	42	nnnn0d 9445	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	reexpcld 10942	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
66	5	peano2nnd 9148	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
67	66	nnnn0d 9445	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
68	63, 67	reexpcld 10942	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
69	65, 68	resubcld 8550	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
70		1mhlfehlf 9352	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
71		2rp 9883	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 9905	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74	70, 73	eqeltri 2302	. . . . 5 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+
75	74	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+ )
76	69, 75	rerpdivcld 9953	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
77	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
78	2	nnrpd 9919	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR+ )
79	77, 78	rpdivcld 9939	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR+ )
80	79	rpred 9921	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR )
81	71	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. RR+ )
82	45	nnzd 9591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ZZ )
83	81, 82	rpexpcld 10949	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
84	83	rprecred 9933	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
85		cvgcmp2n.lt	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
86	45, 85	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
87	41, 51, 84, 86	fsumle 12014	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
88		2cnd 9206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. CC )
89	81	rpap0d 9927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 # 0 )
90	88, 89, 82	exprecapd 10933	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
91	90	eqcomd 2235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92	91	sumeq2dv 11919	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
93	87, 92	breqtrd 4112	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94		fzval3 10439	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
95	28, 94	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
96	95	sumeq1d 11917	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
97	93, 96	breqtrd 4112	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
98		halfcn 9348	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. CC
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
100		1re 8168	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
101		halflt1 9351	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
102	62, 100, 101	ltapii 8805	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
103	102	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) # 1 )
104		eluzp1p1 9772	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
105	3, 104	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
106	99, 103, 64, 105	geosergap 12057	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
107	97, 106	breqtrd 4112	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
108	73	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
109	28	peano2zd 9595	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
110	108, 109	rpexpcld 10949	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR+ )
111	110	rpred 9921	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
112	65, 111	resubcld 8550	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
113	2	nnrecred 9180	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
114	65, 110	ltsubrpd 9954	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) )
115		2cnd 9206	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
116	77	rpap0d 9927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
117	115, 116, 40	exprecapd 10933	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
118	42	nnred 9146	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
119	77, 40	rpexpcld 10949	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpred 9921	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
121		2z 9497	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
122		uzid 9760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
125		bernneq3 10914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
126	124, 64, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
127	17, 118, 120, 18, 126	lttrd 8295	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
128	78, 119	ltrecd 9940	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) ) )
129	127, 128	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
130	117, 129	eqbrtrd 4108	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) < ( 1 / M ) )
131	112, 65, 113, 114, 130	lttrd 8295	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
132	112, 113, 77, 131	ltmul1dd 9977	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) < ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
133	70	oveq2i 6024	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) )
134	112	recnd 8198	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. CC )
135		1cnd 8185	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		1ap0 8760	. . . . . . . 8 |- 1 # 0
137	136	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 # 0 )
138	134, 135, 115, 137, 116	divdivap2d 8993	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
139	133, 138	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
140	134, 115	mulcld 8190	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
141	140	div1d 8950	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
142	139, 141	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
143	17	recnd 8198	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
144	2	nnap0d 9179	. . . . 5 |- ( ph -> M # 0 )
145	115, 143, 144	divrecap2d 8964	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) = ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
146	132, 142, 145	3brtr4d 4118	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) < ( 2 / M ) )
147	52, 76, 80, 107, 146	lelttrd 8294	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) < ( 2 / M ) )
148	61, 147	eqbrtrd 4108	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   i^i cin 3197   (/)c0 3492   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   RR+crp 9878   ...cfz 10233  ..^cfzo 10367   seqcseq 10699   ^cexp 10790   abscabs 11548   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  16573