Theorem cvgcmp2nlemabs 16986

Description: Lemma for cvgcmp2n 16987. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting ( seq 1 ( + , G ) ` N ) as the sum of ( seq 1 ( + , G ) ` M ) and a term which gets smaller as M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgcmp2nlemabs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2nlemabs	|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
2		cvgcmp2nlemabs.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
3		cvgcmp2nlemabs.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluznn 9979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
6		elnnuz 9938	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		elnnuz 9938	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		cvgcmp2n.cl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 8344	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
11	8, 10	sylan2br 288	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
12	1, 7, 11	fsum3ser 12142	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
13		nnuz 9937	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	2, 13	eleqtrdi 2331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	1, 14, 11	fsum3ser 12142	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
16	12, 15	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
17	2	nnred 9296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
18	17	ltp1d 9250	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
19		fzdisj 10435	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
21		eluzle 9913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ N )
23		elfz1b 10475	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
24	2, 5, 22, 23	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
25		fzsplit 10434	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
27		1zzd 9650	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28	5	nnzd 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
29	27, 28	fzfigd 10846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
30		elfznn 10438	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
31	30, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	20, 26, 29, 31	fsumsplit 12152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) )
33	32	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) )
34	29, 31	fsumcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) e. CC )
35	2	nnzd 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	27, 35	fzfigd 10846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
37		elfznn 10438	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
38	37, 10	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
39	36, 38	fsumcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) e. CC )
40	35	peano2zd 9750	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
41	40, 28	fzfigd 10846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
42	2	peano2nnd 9298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
43		elfzuz 10403	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
44		eluznn 9979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
46	45, 10	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
47	41, 46	fsumcl 12145	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. CC )
48	34, 39, 47	subaddd 8645	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) ) )
49	33, 48	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
50	16, 49	eqtr3d 2273	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
51	45, 9	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 12146	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) e. RR )
54	42	nnzd 9746	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
55	54, 28	fzfigd 10846	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
56		cvgcmp2n.ge0	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
57	45, 56	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
58	55, 51, 57	fsumge0 12204	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
59	58, 50	breqtrrd 4153	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
60	53, 59	absidd 11911	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
61	60, 50	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
62		halfre 9497	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
64	42	nnnn0d 9599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	reexpcld 11106	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
66	5	peano2nnd 9298	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
67	66	nnnn0d 9599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
68	63, 67	reexpcld 11106	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
69	65, 68	resubcld 8698	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
70		1mhlfehlf 9502	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
71		2rp 10038	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 10060	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74	70, 73	eqeltri 2311	. . . . 5 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+
75	74	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+ )
76	69, 75	rerpdivcld 10108	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
77	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
78	2	nnrpd 10074	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR+ )
79	77, 78	rpdivcld 10094	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR+ )
80	79	rpred 10076	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR )
81	71	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. RR+ )
82	45	nnzd 9746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ZZ )
83	81, 82	rpexpcld 11113	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
84	83	rprecred 10088	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
85		cvgcmp2n.lt	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
86	45, 85	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
87	41, 51, 84, 86	fsumle 12208	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
88		2cnd 9356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. CC )
89	81	rpap0d 10082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 # 0 )
90	88, 89, 82	exprecapd 11097	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
91	90	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92	91	sumeq2dv 12112	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
93	87, 92	breqtrd 4151	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94		fzval3 10600	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
95	28, 94	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
96	95	sumeq1d 12110	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
97	93, 96	breqtrd 4151	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
98		halfcn 9498	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. CC
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
100		1re 8315	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
101		halflt1 9501	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
102	62, 100, 101	ltapii 8953	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
103	102	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) # 1 )
104		eluzp1p1 9927	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
105	3, 104	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
106	99, 103, 64, 105	geosergap 12251	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
107	97, 106	breqtrd 4151	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
108	73	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
109	28	peano2zd 9750	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
110	108, 109	rpexpcld 11113	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR+ )
111	110	rpred 10076	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
112	65, 111	resubcld 8698	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
113	2	nnrecred 9330	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
114	65, 110	ltsubrpd 10109	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) )
115		2cnd 9356	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
116	77	rpap0d 10082	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
117	115, 116, 40	exprecapd 11097	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
118	42	nnred 9296	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
119	77, 40	rpexpcld 11113	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpred 10076	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
121		2z 9651	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
122		uzid 9915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
125		bernneq3 11078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
126	124, 64, 125	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
127	17, 118, 120, 18, 126	lttrd 8442	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
128	78, 119	ltrecd 10095	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) ) )
129	127, 128	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
130	117, 129	eqbrtrd 4147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) < ( 1 / M ) )
131	112, 65, 113, 114, 130	lttrd 8442	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
132	112, 113, 77, 131	ltmul1dd 10132	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) < ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
133	70	oveq2i 6086	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) )
134	112	recnd 8344	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. CC )
135		1cnd 8332	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		1ap0 8908	. . . . . . . 8 |- 1 # 0
137	136	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 # 0 )
138	134, 135, 115, 137, 116	divdivap2d 9143	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
139	133, 138	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
140	134, 115	mulcld 8336	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
141	140	div1d 9100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
142	139, 141	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
143	17	recnd 8344	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
144	2	nnap0d 9329	. . . . 5 |- ( ph -> M # 0 )
145	115, 143, 144	divrecap2d 9114	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) = ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
146	132, 142, 145	3brtr4d 4157	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) < ( 2 / M ) )
147	52, 76, 80, 107, 146	lelttrd 8441	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) < ( 2 / M ) )
148	61, 147	eqbrtrd 4147	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527   seqcseq 10862   ^cexp 10953   abscabs 11741   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  16987