Theorem cvgcmp2nlemabs 13911

Description: Lemma for cvgcmp2n 13912. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting ( seq 1 ( + , G ) ` N ) as the sum of ( seq 1 ( + , G ) ` M ) and a term which gets smaller as M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgcmp2nlemabs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2nlemabs	|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2166	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
2		cvgcmp2nlemabs.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
3		cvgcmp2nlemabs.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluznn 9538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
6		elnnuz 9502	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		elnnuz 9502	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		cvgcmp2n.cl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 7927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
11	8, 10	sylan2br 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
12	1, 7, 11	fsum3ser 11338	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
13		nnuz 9501	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	2, 13	eleqtrdi 2259	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	1, 14, 11	fsum3ser 11338	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
16	12, 15	oveq12d 5860	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
17	2	nnred 8870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
18	17	ltp1d 8825	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
19		fzdisj 9987	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
21		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ N )
23		elfz1b 10025	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
24	2, 5, 22, 23	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
25		fzsplit 9986	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
27		1zzd 9218	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28	5	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
29	27, 28	fzfigd 10366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
30		elfznn 9989	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
31	30, 10	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	20, 26, 29, 31	fsumsplit 11348	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) )
33	32	eqcomd 2171	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) )
34	29, 31	fsumcl 11341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) e. CC )
35	2	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	27, 35	fzfigd 10366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
37		elfznn 9989	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
38	37, 10	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
39	36, 38	fsumcl 11341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) e. CC )
40	35	peano2zd 9316	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
41	40, 28	fzfigd 10366	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
42	2	peano2nnd 8872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
43		elfzuz 9956	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
44		eluznn 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
46	45, 10	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
47	41, 46	fsumcl 11341	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. CC )
48	34, 39, 47	subaddd 8227	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) ) )
49	33, 48	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
50	16, 49	eqtr3d 2200	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
51	45, 9	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 11342	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) e. RR )
54	42	nnzd 9312	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
55	54, 28	fzfigd 10366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
56		cvgcmp2n.ge0	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
57	45, 56	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
58	55, 51, 57	fsumge0 11400	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
59	58, 50	breqtrrd 4010	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
60	53, 59	absidd 11109	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
61	60, 50	eqtrd 2198	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
62		halfre 9070	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
64	42	nnnn0d 9167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	reexpcld 10605	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
66	5	peano2nnd 8872	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
67	66	nnnn0d 9167	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
68	63, 67	reexpcld 10605	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
69	65, 68	resubcld 8279	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
70		1mhlfehlf 9075	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
71		2rp 9594	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 9616	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74	70, 73	eqeltri 2239	. . . . 5 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+
75	74	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+ )
76	69, 75	rerpdivcld 9664	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
77	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
78	2	nnrpd 9630	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR+ )
79	77, 78	rpdivcld 9650	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR+ )
80	79	rpred 9632	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR )
81	71	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. RR+ )
82	45	nnzd 9312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ZZ )
83	81, 82	rpexpcld 10612	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
84	83	rprecred 9644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
85		cvgcmp2n.lt	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
86	45, 85	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
87	41, 51, 84, 86	fsumle 11404	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
88		2cnd 8930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. CC )
89	81	rpap0d 9638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 # 0 )
90	88, 89, 82	exprecapd 10596	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
91	90	eqcomd 2171	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92	91	sumeq2dv 11309	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
93	87, 92	breqtrd 4008	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94		fzval3 10139	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
95	28, 94	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
96	95	sumeq1d 11307	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
97	93, 96	breqtrd 4008	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
98		halfcn 9071	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. CC
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
100		1re 7898	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
101		halflt1 9074	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
102	62, 100, 101	ltapii 8533	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
103	102	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) # 1 )
104		eluzp1p1 9491	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
105	3, 104	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
106	99, 103, 64, 105	geosergap 11447	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
107	97, 106	breqtrd 4008	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
108	73	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
109	28	peano2zd 9316	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
110	108, 109	rpexpcld 10612	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR+ )
111	110	rpred 9632	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
112	65, 111	resubcld 8279	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
113	2	nnrecred 8904	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
114	65, 110	ltsubrpd 9665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) )
115		2cnd 8930	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
116	77	rpap0d 9638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
117	115, 116, 40	exprecapd 10596	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
118	42	nnred 8870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
119	77, 40	rpexpcld 10612	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpred 9632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
121		2z 9219	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
122		uzid 9480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
125		bernneq3 10577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
126	124, 64, 125	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
127	17, 118, 120, 18, 126	lttrd 8024	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
128	78, 119	ltrecd 9651	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) ) )
129	127, 128	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
130	117, 129	eqbrtrd 4004	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) < ( 1 / M ) )
131	112, 65, 113, 114, 130	lttrd 8024	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
132	112, 113, 77, 131	ltmul1dd 9688	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) < ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
133	70	oveq2i 5853	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) )
134	112	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. CC )
135		1cnd 7915	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		1ap0 8488	. . . . . . . 8 |- 1 # 0
137	136	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 # 0 )
138	134, 135, 115, 137, 116	divdivap2d 8719	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
139	133, 138	syl5eq 2211	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
140	134, 115	mulcld 7919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
141	140	div1d 8676	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
142	139, 141	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
143	17	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
144	2	nnap0d 8903	. . . . 5 |- ( ph -> M # 0 )
145	115, 143, 144	divrecap2d 8690	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) = ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
146	132, 142, 145	3brtr4d 4014	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) < ( 2 / M ) )
147	52, 76, 80, 107, 146	lelttrd 8023	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) < ( 2 / M ) )
148	61, 147	eqbrtrd 4004	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077   seqcseq 10380   ^cexp 10454   abscabs 10939   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  13912