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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > cvgcmp2nlemabs | Unicode version |
Description: Lemma for cvgcmp2n 15260. The partial sums get closer to each other
as
we go further out. The proof proceeds by rewriting
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Ref | Expression |
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cvgcmp2n.cl |
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cvgcmp2n.ge0 |
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cvgcmp2n.lt |
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cvgcmp2nlemabs.m |
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cvgcmp2nlemabs.n |
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Ref | Expression |
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cvgcmp2nlemabs |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqidd 2190 |
. . . . . . . 8
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2 | cvgcmp2nlemabs.m |
. . . . . . . . . 10
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3 | cvgcmp2nlemabs.n |
. . . . . . . . . 10
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4 | eluznn 9632 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 2, 3, 4 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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6 | elnnuz 9596 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | sylib 122 |
. . . . . . . 8
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8 | elnnuz 9596 |
. . . . . . . . 9
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9 | cvgcmp2n.cl |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | recnd 8017 |
. . . . . . . . 9
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11 | 8, 10 | sylan2br 288 |
. . . . . . . 8
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12 | 1, 7, 11 | fsum3ser 11440 |
. . . . . . 7
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13 | nnuz 9595 |
. . . . . . . . 9
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14 | 2, 13 | eleqtrdi 2282 |
. . . . . . . 8
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15 | 1, 14, 11 | fsum3ser 11440 |
. . . . . . 7
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16 | 12, 15 | oveq12d 5915 |
. . . . . 6
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17 | 2 | nnred 8963 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | ltp1d 8918 |
. . . . . . . . . 10
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19 | fzdisj 10084 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 18, 19 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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21 | eluzle 9571 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 3, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | elfz1b 10122 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 2, 5, 22, 23 | syl3anbrc 1183 |
. . . . . . . . . 10
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25 | fzsplit 10083 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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27 | 1zzd 9311 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 5 | nnzd 9405 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | fzfigd 10464 |
. . . . . . . . 9
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30 | elfznn 10086 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 30, 10 | sylan2 286 |
. . . . . . . . 9
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32 | 20, 26, 29, 31 | fsumsplit 11450 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | eqcomd 2195 |
. . . . . . 7
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34 | 29, 31 | fsumcl 11443 |
. . . . . . . 8
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35 | 2 | nnzd 9405 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 27, 35 | fzfigd 10464 |
. . . . . . . . 9
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37 | elfznn 10086 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37, 10 | sylan2 286 |
. . . . . . . . 9
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39 | 36, 38 | fsumcl 11443 |
. . . . . . . 8
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40 | 35 | peano2zd 9409 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 40, 28 | fzfigd 10464 |
. . . . . . . . 9
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42 | 2 | peano2nnd 8965 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | elfzuz 10053 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | eluznn 9632 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 42, 43, 44 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 45, 10 | syldan 282 |
. . . . . . . . 9
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47 | 41, 46 | fsumcl 11443 |
. . . . . . . 8
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48 | 34, 39, 47 | subaddd 8317 |
. . . . . . 7
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49 | 33, 48 | mpbird 167 |
. . . . . 6
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50 | 16, 49 | eqtr3d 2224 |
. . . . 5
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51 | 45, 9 | syldan 282 |
. . . . . 6
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52 | 41, 51 | fsumrecl 11444 |
. . . . 5
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53 | 50, 52 | eqeltrd 2266 |
. . . 4
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54 | 42 | nnzd 9405 |
. . . . . . 7
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55 | 54, 28 | fzfigd 10464 |
. . . . . 6
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56 | cvgcmp2n.ge0 |
. . . . . . 7
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57 | 45, 56 | syldan 282 |
. . . . . 6
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58 | 55, 51, 57 | fsumge0 11502 |
. . . . 5
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59 | 58, 50 | breqtrrd 4046 |
. . . 4
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60 | 53, 59 | absidd 11211 |
. . 3
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61 | 60, 50 | eqtrd 2222 |
. 2
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62 | halfre 9163 |
. . . . . . 7
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63 | 62 | a1i 9 |
. . . . . 6
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64 | 42 | nnnn0d 9260 |
. . . . . 6
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65 | 63, 64 | reexpcld 10705 |
. . . . 5
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66 | 5 | peano2nnd 8965 |
. . . . . . 7
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67 | 66 | nnnn0d 9260 |
. . . . . 6
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68 | 63, 67 | reexpcld 10705 |
. . . . 5
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69 | 65, 68 | resubcld 8369 |
. . . 4
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70 | 1mhlfehlf 9168 |
. . . . . 6
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71 | 2rp 9690 |
. . . . . . 7
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72 | rpreccl 9712 |
. . . . . . 7
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73 | 71, 72 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
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74 | 70, 73 | eqeltri 2262 |
. . . . 5
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75 | 74 | a1i 9 |
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76 | 69, 75 | rerpdivcld 9760 |
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77 | 71 | a1i 9 |
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78 | 2 | nnrpd 9726 |
. . . . 5
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79 | 77, 78 | rpdivcld 9746 |
. . . 4
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80 | 79 | rpred 9728 |
. . 3
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81 | 71 | a1i 9 |
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82 | 45 | nnzd 9405 |
. . . . . . . . 9
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83 | 81, 82 | rpexpcld 10712 |
. . . . . . . 8
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84 | 83 | rprecred 9740 |
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85 | cvgcmp2n.lt |
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86 | 45, 85 | syldan 282 |
. . . . . . 7
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87 | 41, 51, 84, 86 | fsumle 11506 |
. . . . . 6
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88 | 2cnd 9023 |
. . . . . . . . 9
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89 | 81 | rpap0d 9734 |
. . . . . . . . 9
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90 | 88, 89, 82 | exprecapd 10696 |
. . . . . . . 8
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91 | 90 | eqcomd 2195 |
. . . . . . 7
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92 | 91 | sumeq2dv 11411 |
. . . . . 6
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93 | 87, 92 | breqtrd 4044 |
. . . . 5
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94 | fzval3 10236 |
. . . . . . 7
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95 | 28, 94 | syl 14 |
. . . . . 6
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96 | 95 | sumeq1d 11409 |
. . . . 5
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97 | 93, 96 | breqtrd 4044 |
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98 | halfcn 9164 |
. . . . . 6
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99 | 98 | a1i 9 |
. . . . 5
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100 | 1re 7987 |
. . . . . . 7
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101 | halflt1 9167 |
. . . . . . 7
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102 | 62, 100, 101 | ltapii 8623 |
. . . . . 6
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103 | 102 | a1i 9 |
. . . . 5
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104 | eluzp1p1 9585 |
. . . . . 6
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105 | 3, 104 | syl 14 |
. . . . 5
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106 | 99, 103, 64, 105 | geosergap 11549 |
. . . 4
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107 | 97, 106 | breqtrd 4044 |
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108 | 73 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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109 | 28 | peano2zd 9409 |
. . . . . . . 8
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110 | 108, 109 | rpexpcld 10712 |
. . . . . . 7
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111 | 110 | rpred 9728 |
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112 | 65, 111 | resubcld 8369 |
. . . . 5
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113 | 2 | nnrecred 8997 |
. . . . 5
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114 | 65, 110 | ltsubrpd 9761 |
. . . . . 6
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115 | 2cnd 9023 |
. . . . . . . 8
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116 | 77 | rpap0d 9734 |
. . . . . . . 8
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117 | 115, 116, 40 | exprecapd 10696 |
. . . . . . 7
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118 | 42 | nnred 8963 |
. . . . . . . . 9
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119 | 77, 40 | rpexpcld 10712 |
. . . . . . . . . 10
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120 | 119 | rpred 9728 |
. . . . . . . . 9
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121 | 2z 9312 |
. . . . . . . . . . . 12
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122 | uzid 9573 |
. . . . . . . . . . . 12
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123 | 121, 122 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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124 | 123 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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125 | bernneq3 10677 |
. . . . . . . . . 10
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126 | 124, 64, 125 | syl2anc 411 |
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127 | 17, 118, 120, 18, 126 | lttrd 8114 |
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128 | 78, 119 | ltrecd 9747 |
. . . . . . . 8
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129 | 127, 128 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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130 | 117, 129 | eqbrtrd 4040 |
. . . . . 6
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131 | 112, 65, 113, 114, 130 | lttrd 8114 |
. . . . 5
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132 | 112, 113, 77, 131 | ltmul1dd 9784 |
. . . 4
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133 | 70 | oveq2i 5908 |
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134 | 112 | recnd 8017 |
. . . . . . 7
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135 | 1cnd 8004 |
. . . . . . 7
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136 | 1ap0 8578 |
. . . . . . . 8
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137 | 136 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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138 | 134, 135, 115, 137, 116 | divdivap2d 8811 |
. . . . . 6
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139 | 133, 138 | eqtrid 2234 |
. . . . 5
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140 | 134, 115 | mulcld 8009 |
. . . . . 6
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141 | 140 | div1d 8768 |
. . . . 5
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142 | 139, 141 | eqtrd 2222 |
. . . 4
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143 | 17 | recnd 8017 |
. . . . 5
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144 | 2 | nnap0d 8996 |
. . . . 5
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145 | 115, 143, 144 | divrecap2d 8782 |
. . . 4
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146 | 132, 142, 145 | 3brtr4d 4050 |
. . 3
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147 | 52, 76, 80, 107, 146 | lelttrd 8113 |
. 2
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148 | 61, 147 | eqbrtrd 4040 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960 ax-arch 7961 ax-caucvg 7962 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-irdg 6396 df-frec 6417 df-1o 6442 df-oadd 6446 df-er 6560 df-en 6768 df-dom 6769 df-fin 6770 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-q 9652 df-rp 9686 df-ico 9926 df-fz 10041 df-fzo 10175 df-seqfrec 10479 df-exp 10554 df-ihash 10791 df-cj 10886 df-re 10887 df-im 10888 df-rsqrt 11042 df-abs 11043 df-clim 11322 df-sumdc 11397 |
This theorem is referenced by: cvgcmp2n 15260 |
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