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Theorem cvgcmp2nlemabs 15259
Description: Lemma for cvgcmp2n 15260. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N ) as the sum of  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M ) and a term which gets smaller as  M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
cvgcmp2n.ge0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
cvgcmp2n.lt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
cvgcmp2nlemabs.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2nlemabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  < 
( 2  /  M
) )
Distinct variable groups:    k, G    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs
StepHypRef Expression
1 eqidd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2 cvgcmp2nlemabs.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 cvgcmp2nlemabs.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluznn 9632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 elnnuz 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
75, 6sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8 elnnuz 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9 cvgcmp2n.cl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
109recnd 8017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  CC )
118, 10sylan2br 288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
121, 7, 11fsum3ser 11440 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
13 nnuz 9595 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
142, 13eleqtrdi 2282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
151, 14, 11fsum3ser 11440 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) )
1612, 15oveq12d 5915 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( G `  k ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
) )
172nnred 8963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1817ltp1d 8918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
19 fzdisj 10084 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
21 eluzle 9571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
223, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
23 elfz1b 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
242, 5, 22, 23syl3anbrc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
25 fzsplit 10083 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
27 1zzd 9311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
285nnzd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2927, 28fzfigd 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
30 elfznn 10086 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3130, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3220, 26, 29, 31fsumsplit 11450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) ) )
3332eqcomd 2195 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
) )
3429, 31fsumcl 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  e.  CC )
352nnzd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3627, 35fzfigd 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
37 elfznn 10086 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
3837, 10sylan2 286 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3936, 38fsumcl 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  e.  CC )
4035peano2zd 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
4140, 28fzfigd 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
422peano2nnd 8965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
43 elfzuz 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
44 eluznn 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
4542, 43, 44syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
4645, 10syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
4741, 46fsumcl 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  e.  CC )
4834, 39, 47subaddd 8317 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k ) ) )
4933, 48mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )
5016, 49eqtr3d 2224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )
5145, 9syldan 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5241, 51fsumrecl 11444 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  e.  RR )
5350, 52eqeltrd 2266 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
)  e.  RR )
5442nnzd 9405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
5554, 28fzfigd 10464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
56 cvgcmp2n.ge0 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
5745, 56syldan 282 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
5855, 51, 57fsumge0 11502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )
5958, 50breqtrrd 4046 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
)  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )
6053, 59absidd 11211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
) )
6160, 50eqtrd 2222 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )
62 halfre 9163 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6362a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
6442nnnn0d 9260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
6563, 64reexpcld 10705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
665peano2nnd 8965 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
6766nnnn0d 9260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
6863, 67reexpcld 10705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
6965, 68resubcld 8369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
70 1mhlfehlf 9168 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
71 2rp 9690 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
72 rpreccl 9712 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
7470, 73eqeltri 2262 . . . . 5  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
7574a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  e.  RR+ )
7669, 75rerpdivcld 9760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  e.  RR )
7771a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
782nnrpd 9726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
7977, 78rpdivcld 9746 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  e.  RR+ )
8079rpred 9728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  e.  RR )
8171a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2  e.  RR+ )
8245nnzd 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
8381, 82rpexpcld 10712 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
8483rprecred 9740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
85 cvgcmp2n.lt . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
8645, 85syldan 282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  <_  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
8741, 51, 84, 86fsumle 11506 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
88 2cnd 9023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2  e.  CC )
8981rpap0d 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2 #  0 )
9088, 89, 82exprecapd 10696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
9190eqcomd 2195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
9291sumeq2dv 11411 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( 1  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
9387, 92breqtrd 4044 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
94 fzval3 10236 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N )  =  ( ( M  +  1 )..^ ( N  +  1 ) ) )
9528, 94syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  =  ( ( M  +  1 )..^ ( N  +  1 ) ) )
9695sumeq1d 11409 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ ( N  +  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9793, 96breqtrd 4044 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ ( N  +  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
98 halfcn 9164 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9998a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
100 1re 7987 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
101 halflt1 9167 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
10262, 100, 101ltapii 8623 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 ) #  1
103102a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
) #  1 )
104 eluzp1p1 9585 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
1053, 104syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
10699, 103, 64, 105geosergap 11549 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
10797, 106breqtrd 4044 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
10873a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
10928peano2zd 9409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
110108, 109rpexpcld 10712 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
111110rpred 9728 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
11265, 111resubcld 8369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
1132nnrecred 8997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
11465, 110ltsubrpd 9761 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
115 2cnd 9023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
11677rpap0d 9734 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2 #  0 )
117115, 116, 40exprecapd 10696 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
11842nnred 8963 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
11977, 40rpexpcld 10712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
121 2z 9312 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
122 uzid 9573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
124123a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
125 bernneq3 10677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
126124, 64, 125syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
12717, 118, 120, 18, 126lttrd 8114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
12878, 119ltrecd 9747 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  <  (
2 ^ ( M  +  1 ) )  <-> 
( 1  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) ) )
129127, 128mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) )
130117, 129eqbrtrd 4040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  <  ( 1  /  M ) )
131112, 65, 113, 114, 130lttrd 8114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) )
132112, 113, 77, 131ltmul1dd 9784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  <  ( ( 1  /  M )  x.  2 ) )
13370oveq2i 5908 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  /  2 ) )
134112recnd 8017 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
135 1cnd 8004 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
136 1ap0 8578 . . . . . . . 8  |-  1 #  0
137136a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1 #  0 )
138134, 135, 115, 137, 116divdivap2d 8811 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1 ) )
139133, 138eqtrid 2234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1 ) )
140134, 115mulcld 8009 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  e.  CC )
141140div1d 8768 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 1  /  2
) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1
)  =  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  x.  2 ) )
142139, 141eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  x.  2 ) )
14317recnd 8017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1442nnap0d 8996 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M #  0 )
145115, 143, 144divrecap2d 8782 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  =  ( ( 1  /  M )  x.  2 ) )
146132, 142, 1453brtr4d 4050 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  <  ( 2  /  M ) )
14752, 76, 80, 107, 146lelttrd 8113 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <  ( 2  /  M ) )
14861, 147eqbrtrd 4040 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  < 
( 2  /  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160    u. cun 3142    i^i cin 3143   (/)c0 3437   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847    < clt 8023    <_ cle 8024    - cmin 8159   # cap 8569    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   ZZ>=cuz 9559   RR+crp 9685   ...cfz 10040  ..^cfzo 10174    seqcseq 10478   ^cexp 10553   abscabs 11041   sum_csu 11396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-ico 9926  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397
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