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Theorem cvgcmp2nlemabs 12908
Description: Lemma for cvgcmp2n 12909. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N ) as the sum of  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M ) and a term which gets smaller as  M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
cvgcmp2n.ge0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
cvgcmp2n.lt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
cvgcmp2nlemabs.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2nlemabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  < 
( 2  /  M
) )
Distinct variable groups:    k, G    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs
StepHypRef Expression
1 eqidd 2114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
2 cvgcmp2nlemabs.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 cvgcmp2nlemabs.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluznn 9290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  ->  N  e.  NN )
52, 3, 4syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 elnnuz 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
75, 6sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8 elnnuz 9258 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9 cvgcmp2n.cl . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
109recnd 7712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  CC )
118, 10sylan2br 284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
121, 7, 11fsum3ser 11052 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
13 nnuz 9257 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
142, 13syl6eleq 2205 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
151, 14, 11fsum3ser 11052 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) )
1612, 15oveq12d 5744 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( G `  k ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
) )
172nnred 8637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1817ltp1d 8592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
19 fzdisj 9719 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  <  ( M  + 
1 )  ->  (
( 1 ... M
)  i^i  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... M )  i^i  (
( M  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
21 eluzle 9234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
223, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
23 elfz1b 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  <->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
242, 5, 22, 23syl3anbrc 1146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 1 ... N ) )
25 fzsplit 9718 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... M )  u.  (
( M  +  1 ) ... N ) ) )
2624, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )
27 1zzd 8979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
285nnzd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2927, 28fzfigd 10091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
30 elfznn 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3130, 10sylan2 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3220, 26, 29, 31fsumsplit 11062 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) ) )
3332eqcomd 2118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
) )
3429, 31fsumcl 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  e.  CC )
352nnzd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3627, 35fzfigd 10091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  e.  Fin )
37 elfznn 9721 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
3837, 10sylan2 282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3936, 38fsumcl 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k
)  e.  CC )
4035peano2zd 9074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
4140, 28fzfigd 10091 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
422peano2nnd 8639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
43 elfzuz 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
44 eluznn 9290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
4542, 43, 44syl2an 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN )
4645, 10syldan 278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
4741, 46fsumcl 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  e.  CC )
4834, 39, 47subaddd 8008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( G `  k )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( G `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k ) ) )
4933, 48mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( G `  k
)  -  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( G `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )
5016, 49eqtr3d 2147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )
5145, 9syldan 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
5241, 51fsumrecl 11056 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  e.  RR )
5350, 52eqeltrd 2189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
)  e.  RR )
5442nnzd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
5554, 28fzfigd 10091 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
56 cvgcmp2n.ge0 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
5745, 56syldan 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
5855, 51, 57fsumge0 11114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( G `  k ) )
5958, 50breqtrrd 3919 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
)  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )
6053, 59absidd 10825 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  N )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
) )
6160, 50eqtrd 2145 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
) )
62 halfre 8831 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
6362a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
6442nnnn0d 8928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
6563, 64reexpcld 10328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
665peano2nnd 8639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
6766nnnn0d 8928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
6863, 67reexpcld 10328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
6965, 68resubcld 8056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
70 1mhlfehlf 8836 . . . . . 6  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
71 2rp 9342 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
72 rpreccl 9363 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
7371, 72ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
7470, 73eqeltri 2185 . . . . 5  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
7574a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  /  2 ) )  e.  RR+ )
7669, 75rerpdivcld 9408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  e.  RR )
7771a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
782nnrpd 9375 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
7977, 78rpdivcld 9394 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  e.  RR+ )
8079rpred 9376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  e.  RR )
8171a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2  e.  RR+ )
8245nnzd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
8381, 82rpexpcld 10335 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
8483rprecred 9388 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
85 cvgcmp2n.lt . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
8645, 85syldan 278 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( G `  k )  <_  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
8741, 51, 84, 86fsumle 11118 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
88 2cnd 8697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2  e.  CC )
8981rpap0d 9382 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  2 #  0 )
9088, 89, 82exprecapd 10319 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
9190eqcomd 2118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
9291sumeq2dv 11023 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( 1  /  (
2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
9387, 92breqtrd 3917 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
94 fzval3 9868 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N )  =  ( ( M  +  1 )..^ ( N  +  1 ) ) )
9528, 94syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  =  ( ( M  +  1 )..^ ( N  +  1 ) ) )
9695sumeq1d 11021 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ ( N  +  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
9793, 96breqtrd 3917 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ ( N  +  1 ) ) ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
98 halfcn 8832 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9998a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
100 1re 7683 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
101 halflt1 8835 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
10262, 100, 101ltapii 8308 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 ) #  1
103102a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
) #  1 )
104 eluzp1p1 9247 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
1053, 104syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
10699, 103, 64, 105geosergap 11161 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
( N  +  1 ) ) )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
10797, 106breqtrd 3917 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <_  ( (
( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) ) )
10873a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR+ )
10928peano2zd 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
110108, 109rpexpcld 10335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
111110rpred 9376 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
11265, 111resubcld 8056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
1132nnrecred 8671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
11465, 110ltsubrpd 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  <  ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) ) )
115 2cnd 8697 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
11677rpap0d 9382 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2 #  0 )
117115, 116, 40exprecapd 10319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
11842nnred 8637 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
11977, 40rpexpcld 10335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
120119rpred 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
121 2z 8980 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
122 uzid 9236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
123121, 122ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
124123a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
125 bernneq3 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
126124, 64, 125syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
12717, 118, 120, 18, 126lttrd 7805 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
12878, 119ltrecd 9395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  <  (
2 ^ ( M  +  1 ) )  <-> 
( 1  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) ) )
129127, 128mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) )
130117, 129eqbrtrd 3913 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  <  ( 1  /  M ) )
131112, 65, 113, 114, 130lttrd 7805 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  <  ( 1  /  M ) )
132112, 113, 77, 131ltmul1dd 9432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  <  ( ( 1  /  M )  x.  2 ) )
13370oveq2i 5737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  /  2 ) )
134112recnd 7712 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
135 1cnd 7700 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
136 1ap0 8264 . . . . . . . 8  |-  1 #  0
137136a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1 #  0 )
138134, 135, 115, 137, 116divdivap2d 8490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1 ) )
139133, 138syl5eq 2157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
( M  +  1 ) )  -  (
( 1  /  2
) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1 ) )
140134, 115mulcld 7704 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  e.  CC )
141140div1d 8447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 1  /  2
) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
( N  +  1 ) ) )  x.  2 )  /  1
)  =  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  x.  2 ) )
142139, 141eqtrd 2145 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 1  / 
2 ) ^ ( M  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  2 ) ^ ( N  + 
1 ) ) )  x.  2 ) )
14317recnd 7712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
1442nnap0d 8670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M #  0 )
145115, 143, 144divrecap2d 8461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  M
)  =  ( ( 1  /  M )  x.  2 ) )
146132, 142, 1453brtr4d 3923 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ ( M  + 
1 ) )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ ( N  +  1 ) ) )  /  (
1  -  ( 1  /  2 ) ) )  <  ( 2  /  M ) )
14752, 76, 80, 107, 146lelttrd 7804 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ( G `  k
)  <  ( 2  /  M ) )
14861, 147eqbrtrd 3913 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  N )  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  M
) ) )  < 
( 2  /  M
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1312    e. wcel 1461    u. cun 3033    i^i cin 3034   (/)c0 3327   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539   RRcr 7540   0cc0 7541   1c1 7542    + caddc 7544    x. cmul 7546    < clt 7718    <_ cle 7719    - cmin 7850   # cap 8255    / cdiv 8339   NNcn 8624   2c2 8675   NN0cn0 8875   ZZcz 8952   ZZ>=cuz 9222   RR+crp 9337   ...cfz 9677  ..^cfzo 9806    seqcseq 10105   ^cexp 10179   abscabs 10655   sum_csu 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-irdg 6219  df-frec 6240  df-1o 6265  df-oadd 6269  df-er 6381  df-en 6587  df-dom 6588  df-fin 6589  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-ico 9564  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-ihash 10409  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-clim 10934  df-sumdc 11009
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