Theorem cvgcmp2nlemabs 14024

Description: Lemma for cvgcmp2n 14025. The partial sums get closer to each other as we go further out. The proof proceeds by rewriting ( seq 1 ( + , G ) ` N ) as the sum of ( seq 1 ( + , G ) ` M ) and a term which gets smaller as M gets large. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
cvgcmp2nlemabs.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgcmp2nlemabs.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2nlemabs	|- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Distinct variable groups:   k, G   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2nlemabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2171	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
2		cvgcmp2nlemabs.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
3		cvgcmp2nlemabs.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		eluznn 9546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
6		elnnuz 9510	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
8		elnnuz 9510	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		cvgcmp2n.cl	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
10	9	recnd 7935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
11	8, 10	sylan2br 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
12	1, 7, 11	fsum3ser 11347	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
13		nnuz 9509	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
14	2, 13	eleqtrdi 2263	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
15	1, 14, 11	fsum3ser 11347	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) = ( seq 1 ( + , G ) ` M ) )
16	12, 15	oveq12d 5868	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
17	2	nnred 8878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
18	17	ltp1d 8833	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
19		fzdisj 9995	. . . . . . . . . 10 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
21		eluzle 9486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
22	3, 21	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M <_ N )
23		elfz1b 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... N ) <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
24	2, 5, 22, 23	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
25		fzsplit 9994	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
27		1zzd 9226	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
28	5	nnzd 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
29	27, 28	fzfigd 10374	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
30		elfznn 9997	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
31	30, 10	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
32	20, 26, 29, 31	fsumsplit 11357	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) )
33	32	eqcomd 2176	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) )
34	29, 31	fsumcl 11350	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) e. CC )
35	2	nnzd 9320	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	27, 35	fzfigd 10374	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. Fin )
37		elfznn 9997	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
38	37, 10	sylan2 284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
39	36, 38	fsumcl 11350	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) e. CC )
40	35	peano2zd 9324	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
41	40, 28	fzfigd 10374	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
42	2	peano2nnd 8880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
43		elfzuz 9964	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
44		eluznn 9546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> k e. NN )
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
46	45, 10	syldan 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
47	41, 46	fsumcl 11350	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. CC )
48	34, 39, 47	subaddd 8235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) + sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) ) )
49	33, 48	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... N ) ( G ` k ) - sum_ k e. ( 1 ... M ) ( G ` k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
50	16, 49	eqtr3d 2205	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
51	45, 9	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
52	41, 51	fsumrecl 11351	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) e. RR )
53	50, 52	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) e. RR )
54	42	nnzd 9320	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
55	54, 28	fzfigd 10374	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. Fin )
56		cvgcmp2n.ge0	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
57	45, 56	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
58	55, 51, 57	fsumge0 11409	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
59	58, 50	breqtrrd 4015	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
60	53, 59	absidd 11118	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) )
61	60, 50	eqtrd 2203	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) )
62		halfre 9078	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. RR
63	62	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
64	42	nnnn0d 9175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	reexpcld 10613	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
66	5	peano2nnd 8880	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
67	66	nnnn0d 9175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
68	63, 67	reexpcld 10613	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
69	65, 68	resubcld 8287	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
70		1mhlfehlf 9083	. . . . . 6 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
71		2rp 9602	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
72		rpreccl 9624	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR+ -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
74	70, 73	eqeltri 2243	. . . . 5 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+
75	74	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / 2 ) ) e. RR+ )
76	69, 75	rerpdivcld 9672	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
77	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
78	2	nnrpd 9638	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR+ )
79	77, 78	rpdivcld 9658	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR+ )
80	79	rpred 9640	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / M ) e. RR )
81	71	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. RR+ )
82	45	nnzd 9320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ZZ )
83	81, 82	rpexpcld 10620	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
84	83	rprecred 9652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
85		cvgcmp2n.lt	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
86	45, 85	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
87	41, 51, 84, 86	fsumle 11413	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
88		2cnd 8938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 e. CC )
89	81	rpap0d 9646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> 2 # 0 )
90	88, 89, 82	exprecapd 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
91	90	eqcomd 2176	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92	91	sumeq2dv 11318	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( 1 / ( 2 ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
93	87, 92	breqtrd 4013	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94		fzval3 10147	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
95	28, 94	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) = ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) )
96	95	sumeq1d 11316	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
97	93, 96	breqtrd 4013	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
98		halfcn 9079	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. CC
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
100		1re 7906	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
101		halflt1 9082	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
102	62, 100, 101	ltapii 8541	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) # 1
103	102	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) # 1 )
104		eluzp1p1 9499	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
105	3, 104	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
106	99, 103, 64, 105	geosergap 11456	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 )..^ ( N + 1 ) ) ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
107	97, 106	breqtrd 4013	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) <_ ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) )
108	73	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
109	28	peano2zd 9324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
110	108, 109	rpexpcld 10620	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR+ )
111	110	rpred 9640	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
112	65, 111	resubcld 8287	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
113	2	nnrecred 8912	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / M ) e. RR )
114	65, 110	ltsubrpd 9673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) )
115		2cnd 8938	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
116	77	rpap0d 9646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 # 0 )
117	115, 116, 40	exprecapd 10604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) )
118	42	nnred 8878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
119	77, 40	rpexpcld 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR+ )
120	119	rpred 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
121		2z 9227	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
122		uzid 9488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
125		bernneq3 10585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M + 1 ) e. NN0 ) -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
126	124, 64, 125	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
127	17, 118, 120, 18, 126	lttrd 8032	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) )
128	78, 119	ltrecd 9659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M < ( 2 ^ ( M + 1 ) ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) ) )
129	127, 128	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( M + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
130	117, 129	eqbrtrd 4009	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) < ( 1 / M ) )
131	112, 65, 113, 114, 130	lttrd 8032	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) < ( 1 / M ) )
132	112, 113, 77, 131	ltmul1dd 9696	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) < ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
133	70	oveq2i 5861	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) )
134	112	recnd 7935	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. CC )
135		1cnd 7923	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		1ap0 8496	. . . . . . . 8 |- 1 # 0
137	136	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 # 0 )
138	134, 135, 115, 137, 116	divdivap2d 8727	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
139	133, 138	eqtrid 2215	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) )
140	134, 115	mulcld 7927	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) e. CC )
141	140	div1d 8684	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) / 1 ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
142	139, 141	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) x. 2 ) )
143	17	recnd 7935	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
144	2	nnap0d 8911	. . . . 5 |- ( ph -> M # 0 )
145	115, 143, 144	divrecap2d 8698	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / M ) = ( ( 1 / M ) x. 2 ) )
146	132, 142, 145	3brtr4d 4019	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( M + 1 ) ) - ( ( 1 / 2 ) ^ ( N + 1 ) ) ) / ( 1 - ( 1 / 2 ) ) ) < ( 2 / M ) )
147	52, 76, 80, 107, 146	lelttrd 8031	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ( G ` k ) < ( 2 / M ) )
148	61, 147	eqbrtrd 4009	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` N ) - ( seq 1 ( + , G ) ` M ) ) ) < ( 2 / M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759   RRcr 7760   0cc0 7761   1c1 7762   + caddc 7764   x. cmul 7766   < clt 7941   <_ cle 7942   - cmin 8077   # cap 8487   / cdiv 8576   NNcn 8865   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   RR+crp 9597   ...cfz 9952  ..^cfzo 10085   seqcseq 10388   ^cexp 10462   abscabs 10948   sum_csu 11303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304

This theorem is referenced by:  cvgcmp2n  14025