Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemseq Unicode version

Theorem cvgratnnlemseq 11400
 Description: Lemma for cvgratnn 11405. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3
cvgratnn.4
cvgratnn.gt0
cvgratnn.6
cvgratnn.7
cvgratnn.m
cvgratnn.n
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemseq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem cvgratnnlemseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9453 . . . . . . 7
2 1zzd 9173 . . . . . . 7
3 cvgratnn.6 . . . . . . 7
41, 2, 3serf 10351 . . . . . 6
54adantr 274 . . . . 5
6 cvgratnn.m . . . . . 6
76adantr 274 . . . . 5
85, 7ffvelrnd 5596 . . . 4
9 eqid 2154 . . . . . . 7
106nnzd 9264 . . . . . . . 8
1110peano2zd 9268 . . . . . . 7
12 fveq2 5461 . . . . . . . . 9
1312eleq1d 2223 . . . . . . . 8
143ralrimiva 2527 . . . . . . . . 9
1514adantr 274 . . . . . . . 8
166peano2nnd 8827 . . . . . . . . 9
17 eluznn 9489 . . . . . . . . 9
1816, 17sylan 281 . . . . . . . 8
1913, 15, 18rspcdva 2818 . . . . . . 7
209, 11, 19serf 10351 . . . . . 6
2120adantr 274 . . . . 5
2211adantr 274 . . . . . 6
23 cvgratnn.n . . . . . . . 8
24 eluzelz 9427 . . . . . . . 8
2523, 24syl 14 . . . . . . 7
2625adantr 274 . . . . . 6
27 zltp1le 9200 . . . . . . . 8
2810, 25, 27syl2anc 409 . . . . . . 7
2928biimpa 294 . . . . . 6
30 eluz2 9424 . . . . . 6
3122, 26, 29, 30syl3anbrc 1166 . . . . 5
3221, 31ffvelrnd 5596 . . . 4
338, 32pncan2d 8167 . . 3
34 addcl 7836 . . . . . 6
3534adantl 275 . . . . 5
36 addass 7841 . . . . . 6
3736adantl 275 . . . . 5
386, 1eleqtrdi 2247 . . . . . 6
3938adantr 274 . . . . 5
4014ad2antrr 480 . . . . . 6
41 simpr 109 . . . . . . 7
4241, 1eleqtrrdi 2248 . . . . . 6
4313, 40, 42rspcdva 2818 . . . . 5
4435, 37, 31, 39, 43seq3split 10356 . . . 4
4544oveq1d 5829 . . 3
46 eqidd 2155 . . . 4
47 fveq2 5461 . . . . . 6
4847eleq1d 2223 . . . . 5
4914ad2antrr 480 . . . . 5
5016ad2antrr 480 . . . . . 6
51 simpr 109 . . . . . 6
52 eluznn 9489 . . . . . 6
5350, 51, 52syl2anc 409 . . . . 5
5448, 49, 53rspcdva 2818 . . . 4
5546, 31, 54fsum3ser 11271 . . 3
5633, 45, 553eqtr4d 2197 . 2
57 simpr 109 . . . . . . 7
586nnred 8825 . . . . . . . . 9
5958ltp1d 8780 . . . . . . . 8
6059adantr 274 . . . . . . 7
6157, 60eqbrtrrd 3984 . . . . . 6
6211adantr 274 . . . . . . 7
6325adantr 274 . . . . . . 7
64 fzn 9922 . . . . . . 7
6562, 63, 64syl2anc 409 . . . . . 6
6661, 65mpbid 146 . . . . 5
6766sumeq1d 11240 . . . 4
68 sum0 11262 . . . 4
6967, 68eqtrdi 2203 . . 3
704, 6ffvelrnd 5596 . . . . 5
7170adantr 274 . . . 4
7271subidd 8153 . . 3
7357fveq2d 5465 . . . 4
7473oveq1d 5829 . . 3
7569, 72, 743eqtr2rd 2194 . 2
76 eluzle 9430 . . . 4
7723, 76syl 14 . . 3
78 zleloe 9193 . . . 4
7910, 25, 78syl2anc 409 . . 3
8077, 79mpbid 146 . 2
8156, 75, 80mpjaodan 788 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698   w3a 963   wceq 1332   wcel 2125  wral 2432  c0 3390   class class class wbr 3961  wf 5159  cfv 5163  (class class class)co 5814  cc 7709  cr 7710  cc0 7711  c1 7712   caddc 7714   cmul 7716   clt 7891   cle 7892   cmin 8025  cn 8812  cz 9146  cuz 9418  cfz 9890   cseq 10322  cabs 10874  csu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  cvgratnnlemrate  11404
 Copyright terms: Public domain W3C validator