Theorem nninfdclemlt 12435

Description: Lemma for nninfdc 12437. The function from nninfdclemf 12433 is strictly monotonic. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	|- ( ph -> A C_ NN )
nninfdclemf.dc	|- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
nninfdclemf.nb	|- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
nninfdclemf.j	|- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
nninfdclemf.f	|- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
nninfdclemlt.u	|- ( ph -> U e. NN )
nninfdclemlt.v	|- ( ph -> V e. NN )
nninfdclemlt.lt	|- ( ph -> U < V )

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemlt	|- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` V ) )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A   y, A, z   m, F, n   x, F   y, F, z   i, J   U, i   U, m, n   x, U   y, U, z   y, J, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, i, m, n)   A( i)   F( i)   J( x, m, n)   V( x, y, z, i, m, n)

Proof of Theorem nninfdclemlt

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemlt.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. NN )
2	1	peano2nnd 8923	. . . . 5 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. NN )
3	2	nnzd 9363	. . . 4 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. ZZ )
4		nninfdclemlt.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. NN )
5	4	nnzd 9363	. . . 4 |- ( ph -> V e. ZZ )
6		nninfdclemlt.lt	. . . . 5 |- ( ph -> U < V )
7		nnltp1le 9302	. . . . . 6 |- ( ( U e. NN /\ V e. NN ) -> ( U < V <-> ( U + 1 ) <_ V ) )
8	1, 4, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U < V <-> ( U + 1 ) <_ V ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( U + 1 ) <_ V )
10		eluz2 9523	. . . 4 |- ( V e. ( ZZ>= ` ( U + 1 ) ) <-> ( ( U + 1 ) e. ZZ /\ V e. ZZ /\ ( U + 1 ) <_ V ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1181	. . 3 |- ( ph -> V e. ( ZZ>= ` ( U + 1 ) ) )
12		eluzfz2 10018	. . 3 |- ( V e. ( ZZ>= ` ( U + 1 ) ) -> V e. ( ( U + 1 ) ... V ) )
13	11, 12	syl 14	. 2 |- ( ph -> V e. ( ( U + 1 ) ... V ) )
14		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( w = ( U + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( U + 1 ) ) )
15	14	breq2d 4012	. . . 4 |- ( w = ( U + 1 ) -> ( ( F ` U ) < ( F ` w ) <-> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( U + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
18	17	breq2d 4012	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( F ` U ) < ( F ` w ) <-> ( F ` U ) < ( F ` k ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` k ) ) ) )
20		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
21	20	breq2d 4012	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( F ` U ) < ( F ` w ) <-> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
23		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( w = V -> ( F ` w ) = ( F ` V ) )
24	23	breq2d 4012	. . . 4 |- ( w = V -> ( ( F ` U ) < ( F ` w ) <-> ( F ` U ) < ( F ` V ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = V -> ( ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` V ) ) ) )
26		nninfdclemf.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
27		nninfdclemf.dc	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. NN DECID x e. A )
28		nninfdclemf.nb	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
29		nninfdclemf.j	. . . . 5 |- ( ph -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
30		nninfdclemf.f	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> J ) )
31	26, 27, 28, 29, 30, 1	nninfdclemp1 12434	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) )
32	31	a1i 9	. . 3 |- ( V e. ( ZZ>= ` ( U + 1 ) ) -> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( U + 1 ) ) ) )
33	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> A C_ NN )
34	26, 27, 28, 29, 30	nninfdclemf 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> A )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> F : NN --> A )
36	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> U e. NN )
37	35, 36	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` U ) e. A )
38	33, 37	sseldd 3156	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` U ) e. NN )
39	38	nnred 8921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
40		elfzoelz 10133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( U + 1 )..^ V ) -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42		1red 7963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> 1 e. RR )
43	2	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. RR )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( U + 1 ) e. RR )
45	41	zred 9364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> k e. RR )
46	2	nnge1d 8951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ ( U + 1 ) )
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> 1 <_ ( U + 1 ) )
48		elfzole1 10141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( U + 1 )..^ V ) -> ( U + 1 ) <_ k )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( U + 1 ) <_ k )
50	42, 44, 45, 47, 49	letrd 8071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> 1 <_ k )
51		elnnz1 9265	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN <-> ( k e. ZZ /\ 1 <_ k ) )
52	41, 50, 51	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN )
53	35, 52	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. A )
54	33, 53	sseldd 3156	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. NN )
55	54	nnred 8921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
56	52	peano2nnd 8923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
57	35, 56	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. A )
58	33, 57	sseldd 3156	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
59	58	nnred 8921	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
60		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` U ) < ( F ` k ) )
61	27	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
62	28	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
63	29	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( J e. A /\ 1 < J ) )
64	33, 61, 62, 63, 30, 52	nninfdclemp1 12434	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
65	39, 55, 59, 60, 64	lttrd 8073	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) /\ ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( U + 1 )..^ V ) ) -> ( ( F ` U ) < ( F ` k ) -> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
67	66	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ( U + 1 )..^ V ) -> ( ph -> ( ( F ` U ) < ( F ` k ) -> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
68	67	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ( U + 1 )..^ V ) -> ( ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
69	16, 19, 22, 25, 32, 68	fzind2 10225	. 2 |- ( V e. ( ( U + 1 ) ... V ) -> ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` V ) ) )
70	13, 69	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3128   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871  infcinf 6976   RRcr 7801   1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   <_ cle 7983   NNcn 8908   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128   seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432

This theorem is referenced by:  nninfdclemf1  12436