Theorem infpnlem1 12715

Description: Lemma for infpn 12717. The smallest divisor (greater than 1) M of N ! + 1 is a prime greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem1	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, N   j, M   j, K

Proof of Theorem infpnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9393	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> N e. ZZ )
3		nnz 9393	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> M e. ZZ )
5		zdclt 9452	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> DECID N < M )
7		nnre 9045	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
8		nnre 9045	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		lenlt 8150	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
12		nnnn0 9304	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		facndiv 10886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
14		infpnlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
15	14	oveq1i 5956	. . . . . . . . . 10 |- ( K / M ) = ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M )
16		nnz 9393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( K / M ) e. ZZ )
17	15, 16	eqeltrrid 2293	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
18	13, 17	nsyl 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
19	12, 18	sylanl1 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
20	19	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N -> -. ( K / M ) e. NN ) )
21	11, 20	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) )
22		condc 855	. . . . 5 |- (DECID N < M -> ( ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) ) )
23	6, 21, 22	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) )
24	23	expimpd 363	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> N < M ) )
25	24	adantrd 279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> N < M ) )
26	12	faccld 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	peano2nnd 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
28	14, 27	eqeltrid 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> K e. NN )
29	28	nncnd 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> K e. CC )
30		nndivtr 9080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( K / j ) e. NN )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
32	31	3com13 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ M e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
33	32	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. CC /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
34	29, 33	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
36		nnre 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
37		letri3 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. RR /\ M e. RR ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
38	36, 7, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
39	38	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( j <_ M /\ M <_ j ) -> j = M ) )
40	39	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
41	40	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
42	41	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
43	42	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
44	43	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
46	35, 45	sylan2d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
47	46	exp4d 369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( 1 < j -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
49	48	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
50	49	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( j e. NN -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < j -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
53	52	3imp 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
54	53	com3l 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
55	54	ralimdva 2573	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
56	55	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
57	56	adantld 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
58	57	impd 254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
59		prime 9474	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
60	59	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
61	58, 60	sylibrd 169	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) )
62	25, 61	jcad 307	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   <_ cle 8110   / cdiv 8747   NNcn 9038   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   !cfa 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595  df-fac 10873

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12716