Theorem infpnlem1 13138

Description: Lemma for infpn 13140. The smallest divisor (greater than 1) M of N ! + 1 is a prime greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem1	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, N   j, M   j, K

Proof of Theorem infpnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9663	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2	1	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> N e. ZZ )
3		nnz 9663	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	ad2antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> M e. ZZ )
5		zdclt 9722	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
6	2, 4, 5	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> DECID N < M )
7		nnre 9311	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
8		nnre 9311	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		lenlt 8401	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
12		nnnn0 9570	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		facndiv 11177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
14		infpnlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
15	14	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( K / M ) = ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M )
16		nnz 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( K / M ) e. ZZ )
17	15, 16	eqeltrrid 2326	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
18	13, 17	nsyl 637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
19	12, 18	sylanl1 406	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
20	19	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N -> -. ( K / M ) e. NN ) )
21	11, 20	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) )
22		condc 865	. . . . 5 |- (DECID N < M -> ( ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) ) )
23	6, 21, 22	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) )
24	23	expimpd 363	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> N < M ) )
25	24	adantrd 279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> N < M ) )
26	12	faccld 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	peano2nnd 9319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
28	14, 27	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> K e. NN )
29	28	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> K e. CC )
30		nndivtr 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( K / j ) e. NN )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
32	31	3com13 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ M e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
33	32	3expa 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. CC /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
34	29, 33	sylanl1 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	adantrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
36		nnre 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
37		letri3 8406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. RR /\ M e. RR ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
38	36, 7, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
39	38	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( j <_ M /\ M <_ j ) -> j = M ) )
40	39	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
41	40	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
42	41	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
43	42	adantll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
44	43	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
46	35, 45	sylan2d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
47	46	exp4d 369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( 1 < j -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
49	48	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
50	49	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( j e. NN -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < j -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
53	52	3imp 1224	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
54	53	com3l 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
55	54	ralimdva 2617	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
56	55	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
57	56	adantld 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
58	57	impd 254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
59		prime 9745	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
60	59	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
61	58, 60	sylibrd 169	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) )
62	25, 61	jcad 307	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   / cdiv 9002   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-fac 11164

This theorem is used by:  infpnlem2  13139