Theorem infpnlem1 12497

Description: Lemma for infpn 12499. The smallest divisor (greater than 1) M of N ! + 1 is a prime greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem1	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, N   j, M   j, K

Proof of Theorem infpnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9336	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> N e. ZZ )
3		nnz 9336	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> M e. ZZ )
5		zdclt 9394	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> DECID N < M )
7		nnre 8989	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
8		nnre 8989	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		lenlt 8095	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
12		nnnn0 9247	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		facndiv 10810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
14		infpnlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
15	14	oveq1i 5928	. . . . . . . . . 10 |- ( K / M ) = ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M )
16		nnz 9336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( K / M ) e. ZZ )
17	15, 16	eqeltrrid 2281	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
18	13, 17	nsyl 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
19	12, 18	sylanl1 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
20	19	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N -> -. ( K / M ) e. NN ) )
21	11, 20	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) )
22		condc 854	. . . . 5 |- (DECID N < M -> ( ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) ) )
23	6, 21, 22	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) )
24	23	expimpd 363	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> N < M ) )
25	24	adantrd 279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> N < M ) )
26	12	faccld 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	peano2nnd 8997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
28	14, 27	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> K e. NN )
29	28	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> K e. CC )
30		nndivtr 9024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( K / j ) e. NN )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
32	31	3com13 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ M e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
33	32	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. CC /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
34	29, 33	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
36		nnre 8989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
37		letri3 8100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. RR /\ M e. RR ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
38	36, 7, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
39	38	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( j <_ M /\ M <_ j ) -> j = M ) )
40	39	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
41	40	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
42	41	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
43	42	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
44	43	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
46	35, 45	sylan2d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
47	46	exp4d 369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( 1 < j -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
49	48	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
50	49	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( j e. NN -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < j -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
53	52	3imp 1195	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
54	53	com3l 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
55	54	ralimdva 2561	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
56	55	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
57	56	adantld 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
58	57	impd 254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
59		prime 9416	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
60	59	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
61	58, 60	sylibrd 169	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) )
62	25, 61	jcad 307	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   / cdiv 8691   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   !cfa 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-fac 10797

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12498