Theorem infpnlem1 12797

Description: Lemma for infpn 12799. The smallest divisor (greater than 1) M of N ! + 1 is a prime greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem1	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, N   j, M   j, K

Proof of Theorem infpnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9426	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> N e. ZZ )
3		nnz 9426	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> M e. ZZ )
5		zdclt 9485	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> DECID N < M )
7		nnre 9078	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
8		nnre 9078	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		lenlt 8183	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
12		nnnn0 9337	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		facndiv 10921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
14		infpnlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
15	14	oveq1i 5977	. . . . . . . . . 10 |- ( K / M ) = ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M )
16		nnz 9426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( K / M ) e. ZZ )
17	15, 16	eqeltrrid 2295	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
18	13, 17	nsyl 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
19	12, 18	sylanl1 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
20	19	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N -> -. ( K / M ) e. NN ) )
21	11, 20	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) )
22		condc 855	. . . . 5 |- (DECID N < M -> ( ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) ) )
23	6, 21, 22	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) )
24	23	expimpd 363	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> N < M ) )
25	24	adantrd 279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> N < M ) )
26	12	faccld 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	peano2nnd 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
28	14, 27	eqeltrid 2294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> K e. NN )
29	28	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> K e. CC )
30		nndivtr 9113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( K / j ) e. NN )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
32	31	3com13 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ M e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
33	32	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. CC /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
34	29, 33	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
36		nnre 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
37		letri3 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. RR /\ M e. RR ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
38	36, 7, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
39	38	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( j <_ M /\ M <_ j ) -> j = M ) )
40	39	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
41	40	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
42	41	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
43	42	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
44	43	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
46	35, 45	sylan2d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
47	46	exp4d 369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( 1 < j -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
49	48	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
50	49	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( j e. NN -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < j -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
53	52	3imp 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
54	53	com3l 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
55	54	ralimdva 2575	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
56	55	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
57	56	adantld 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
58	57	impd 254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
59		prime 9507	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
60	59	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
61	58, 60	sylibrd 169	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) )
62	25, 61	jcad 307	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   / cdiv 8780   NNcn 9071   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   !cfa 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-fac 10908

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12798