Theorem infpnlem1 12952

Description: Lemma for infpn 12954. The smallest divisor (greater than 1) M of N ! + 1 is a prime greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem1	|- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, N   j, M   j, K

Proof of Theorem infpnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9500	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> N e. ZZ )
3		nnz 9500	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
4	3	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> M e. ZZ )
5		zdclt 9559	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> DECID N < M )
7		nnre 9152	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
8		nnre 9152	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
9		lenlt 8257	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
10	7, 8, 9	syl2anr 290	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
11	10	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
12		nnnn0 9411	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
13		facndiv 11004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
14		infpnlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
15	14	oveq1i 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( K / M ) = ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M )
16		nnz 9500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( K / M ) e. ZZ )
17	15, 16	eqeltrrid 2318	. . . . . . . . 9 |- ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( ! ` N ) + 1 ) / M ) e. ZZ )
18	13, 17	nsyl 633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
19	12, 18	sylanl1 402	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( 1 < M /\ M <_ N ) ) -> -. ( K / M ) e. NN )
20	19	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( M <_ N -> -. ( K / M ) e. NN ) )
21	11, 20	sylbird 170	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) )
22		condc 860	. . . . 5 |- (DECID N < M -> ( ( -. N < M -> -. ( K / M ) e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) ) )
23	6, 21, 22	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ 1 < M ) -> ( ( K / M ) e. NN -> N < M ) )
24	23	expimpd 363	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> N < M ) )
25	24	adantrd 279	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> N < M ) )
26	12	faccld 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
27	26	peano2nnd 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
28	14, 27	eqeltrid 2317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> K e. NN )
29	28	nncnd 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> K e. CC )
30		nndivtr 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( K / j ) e. NN )
31	30	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN /\ K e. CC ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
32	31	3com13 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. CC /\ M e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
33	32	3expa 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. CC /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
34	29, 33	sylanl1 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( K / j ) e. NN ) )
36		nnre 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. NN -> j e. RR )
37		letri3 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( j e. RR /\ M e. RR ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
38	36, 7, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( j = M <-> ( j <_ M /\ M <_ j ) ) )
39	38	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( j <_ M /\ M <_ j ) -> j = M ) )
40	39	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. NN -> ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
41	40	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( M <_ j -> j = M ) ) ) )
42	41	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
43	42	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( M <_ j -> j = M ) )
44	43	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
46	35, 45	sylan2d 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( 1 < j /\ ( ( M / j ) e. NN /\ ( K / M ) e. NN ) ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
47	46	exp4d 369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( 1 < j -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
48	47	com24 87	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( j <_ M /\ j e. NN ) ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
49	48	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( j <_ M -> ( j e. NN -> ( ( K / M ) e. NN -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
50	49	com24 87	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( j e. NN -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) ) ) )
51	50	imp31 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( 1 < j -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
52	51	com14 88	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < j -> ( j <_ M -> ( ( M / j ) e. NN -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) ) ) )
53	52	3imp 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> j = M ) ) )
54	53	com3l 81	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
55	54	ralimdva 2598	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ M e. NN ) /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
56	55	ex 115	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( K / M ) e. NN -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
57	56	adantld 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) ) )
58	57	impd 254	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
59		prime 9581	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
60	59	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) <-> A. j e. NN ( ( 1 < j /\ j <_ M /\ ( M / j ) e. NN ) -> j = M ) ) )
61	58, 60	sylibrd 169	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) )
62	25, 61	jcad 307	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( ( 1 < M /\ ( K / M ) e. NN ) /\ A. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) -> M <_ j ) ) -> ( N < M /\ A. j e. NN ( ( M / j ) e. NN -> ( j = 1 \/ j = M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   A.wral 2509   class class class wbr 4087   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   CCcc 8032   RRcr 8033   1c1 8035   + caddc 8037   < clt 8216   <_ cle 8217   / cdiv 8854   NNcn 9145   NN0cn0 9404   ZZcz 9481   !cfa 10990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-seqfrec 10713  df-fac 10991

This theorem is referenced by:  infpnlem2  12953