Theorem cvgratnnlemmn 11668

Description: Lemma for cvgratnn 11674. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnn.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgratnn.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemmn	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5559	. . . . 5 |- ( w = M -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
3		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
4	3	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( M - M ) ) )
5	4	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
6	2, 5	breq12d 4042	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) ) )
8		2fveq3 5559	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
9		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - M ) = ( k - M ) )
10	9	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( k - M ) ) )
11	10	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) )
12	8, 11	breq12d 4042	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
14		2fveq3 5559	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( k + 1 ) - M ) )
16	15	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
17	16	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
18	14, 17	breq12d 4042	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
20		2fveq3 5559	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
21		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( N - M ) ) )
23	22	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )
24	20, 23	breq12d 4042	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) ) )
26		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
27	26	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
28		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	28	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
30		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
31	27, 29, 30	rspcdva 2869	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
32	31	abscld 11325	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
33	32	leidd 8533	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( abs ` ( F ` M ) ) )
34	30	nncnd 8996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	subidd 8318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
36	35	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = ( A ^ 0 ) )
37		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
38	37	recnd 8048	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
39	38	exp0d 10738	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
40	36, 39	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = 1 )
41	40	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) )
42	32	recnd 8048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
43	42	mulridd 8036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
45	33, 44	breqtrrd 4057	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
46	45	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
47		eluznn 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
48	30, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
49	48, 28	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
50	49	abscld 11325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
51	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
52	37	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
53		uznn0sub 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k - M ) e. NN0 )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k - M ) e. NN0 )
55	52, 54	reexpcld 10761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. RR )
56	51, 55	remulcld 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR )
57		0red 8020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
58		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
60	57, 52, 59	ltled 8138	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ A )
61		lemul2a 8878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
62	61	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
63	50, 56, 52, 60, 62	syl112anc 1253	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
64	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
65	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
66	55	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. CC )
67	64, 65, 66	mul12d 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
68	64, 54	expp1d 10745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
69	48	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. CC )
70		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. CC )
71		eluzel2 9597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
73	72	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
74	69, 70, 73	addsubd 8351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) = ( ( k - M ) + 1 ) )
75	74	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) = ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
76	64, 66	mulcomd 8041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
77	68, 75, 76	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
78	77	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
79	67, 78	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
80	79	breq2d 4041	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
81	63, 80	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
82		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
83	48, 82	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
84		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
85	84	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
86		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
87	86	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
88	87	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89	29, 88	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
91	48	peano2nnd 8997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
92	85, 90, 91	rspcdva 2869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	92	abscld 11325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
94	52, 50	remulcld 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
95		peano2uz 9648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		uznn0sub 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
99	52, 98	reexpcld 10761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) e. RR )
100	51, 99	remulcld 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR )
101		letr 8102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
102	93, 94, 100, 101	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
103	83, 102	mpand 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
104	81, 103	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
105	104	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
106	105	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
107	7, 13, 19, 25, 46, 106	uzind4 9653	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
108	1, 107	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ^cexp 10609   abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11670