Theorem cvgratnnlemmn 10919

Description: Lemma for cvgratnn 10925. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnn.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgratnn.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemmn	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5310	. . . . 5 |- ( w = M -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
3		oveq1 5659	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
4	3	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( M - M ) ) )
5	4	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
6	2, 5	breq12d 3858	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
7	6	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) ) )
8		2fveq3 5310	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
9		oveq1 5659	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - M ) = ( k - M ) )
10	9	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( k - M ) ) )
11	10	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) )
12	8, 11	breq12d 3858	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
13	12	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
14		2fveq3 5310	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq1 5659	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( k + 1 ) - M ) )
16	15	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
17	16	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
18	14, 17	breq12d 3858	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
20		2fveq3 5310	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
21		oveq1 5659	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( N - M ) ) )
23	22	oveq2d 5668	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )
24	20, 23	breq12d 3858	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
25	24	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) ) )
26		fveq2 5305	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
27	26	eleq1d 2156	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
28		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	28	ralrimiva 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
30		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
31	27, 29, 30	rspcdva 2727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
32	31	abscld 10614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
33	32	leidd 7992	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( abs ` ( F ` M ) ) )
34	30	nncnd 8436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	subidd 7781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
36	35	oveq2d 5668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = ( A ^ 0 ) )
37		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
38	37	recnd 7516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
39	38	exp0d 10080	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
40	36, 39	eqtrd 2120	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = 1 )
41	40	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) )
42	32	recnd 7516	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
43	42	mulid1d 7505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2120	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
45	33, 44	breqtrrd 3871	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
46	45	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
47		eluznn 9087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
48	30, 47	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
49	48, 28	syldan 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
50	49	abscld 10614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
51	32	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
52	37	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
53		uznn0sub 9050	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k - M ) e. NN0 )
54	53	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k - M ) e. NN0 )
55	52, 54	reexpcld 10103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. RR )
56	51, 55	remulcld 7518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR )
57		0red 7489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
58		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
59	58	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
60	57, 52, 59	ltled 7602	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ A )
61		lemul2a 8320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
62	61	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
63	50, 56, 52, 60, 62	syl112anc 1178	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
64	38	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
65	42	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
66	55	recnd 7516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. CC )
67	64, 65, 66	mul12d 7634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
68	64, 54	expp1d 10087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
69	48	nncnd 8436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. CC )
70		1cnd 7504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. CC )
71		eluzel2 9024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
72	71	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
73	72	zcnd 8869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
74	69, 70, 73	addsubd 7814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) = ( ( k - M ) + 1 ) )
75	74	oveq2d 5668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) = ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
76	64, 66	mulcomd 7509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
77	68, 75, 76	3eqtr4rd 2131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
78	77	oveq2d 5668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
79	67, 78	eqtrd 2120	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
80	79	breq2d 3857	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
81	63, 80	sylibd 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
82		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
83	48, 82	syldan 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
84		fveq2 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
85	84	eleq1d 2156	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
86		fveq2 5305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
87	86	eleq1d 2156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
88	87	cbvralv 2590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89	29, 88	sylib 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
90	89	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
91	48	peano2nnd 8437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
92	85, 90, 91	rspcdva 2727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	92	abscld 10614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
94	52, 50	remulcld 7518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
95		peano2uz 9071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		uznn0sub 9050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
99	52, 98	reexpcld 10103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) e. RR )
100	51, 99	remulcld 7518	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR )
101		letr 7568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
102	93, 94, 100, 101	syl3anc 1174	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
103	83, 102	mpand 420	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
104	81, 103	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
105	104	expcom 114	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
106	105	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
107	7, 13, 19, 25, 46, 106	uzind4 9076	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
108	1, 107	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351   + caddc 7353   x. cmul 7355   < clt 7522   <_ cle 7523   - cmin 7653   NNcn 8422   NN0cn0 8673   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ^cexp 9954   abscabs 10430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  10921