Theorem cvgratnnlemmn 12236

Description: Lemma for cvgratnn 12242. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnn.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgratnn.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemmn	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5680	. . . . 5 |- ( w = M -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
3		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
4	3	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( M - M ) ) )
5	4	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
6	2, 5	breq12d 4127	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) ) )
8		2fveq3 5680	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
9		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - M ) = ( k - M ) )
10	9	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( k - M ) ) )
11	10	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) )
12	8, 11	breq12d 4127	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
14		2fveq3 5680	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( k + 1 ) - M ) )
16	15	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
17	16	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
18	14, 17	breq12d 4127	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
20		2fveq3 5680	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
21		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( N - M ) ) )
23	22	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )
24	20, 23	breq12d 4127	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) ) )
26		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
27	26	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
28		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	28	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
30		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
31	27, 29, 30	rspcdva 2928	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
32	31	abscld 11891	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
33	32	leidd 8805	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( abs ` ( F ` M ) ) )
34	30	nncnd 9268	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	subidd 8588	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
36	35	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = ( A ^ 0 ) )
37		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
38	37	recnd 8318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
39	38	exp0d 11054	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
40	36, 39	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = 1 )
41	40	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) )
42	32	recnd 8318	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
43	42	mulridd 8307	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
45	33, 44	breqtrrd 4142	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
46	45	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
47		eluznn 9950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
48	30, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
49	48, 28	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
50	49	abscld 11891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
51	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
52	37	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
53		uznn0sub 9904	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k - M ) e. NN0 )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k - M ) e. NN0 )
55	52, 54	reexpcld 11077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. RR )
56	51, 55	remulcld 8320	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR )
57		0red 8291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
58		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
60	57, 52, 59	ltled 8408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ A )
61		lemul2a 9150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
62	61	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
63	50, 56, 52, 60, 62	syl112anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
64	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
65	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
66	55	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. CC )
67	64, 65, 66	mul12d 8441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
68	64, 54	expp1d 11061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
69	48	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. CC )
70		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. CC )
71		eluzel2 9876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
73	72	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
74	69, 70, 73	addsubd 8621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) = ( ( k - M ) + 1 ) )
75	74	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) = ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
76	64, 66	mulcomd 8311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
77	68, 75, 76	3eqtr4rd 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
78	77	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
79	67, 78	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
80	79	breq2d 4126	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
81	63, 80	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
82		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
83	48, 82	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
84		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
85	84	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
86		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
87	86	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
88	87	cbvralv 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89	29, 88	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
91	48	peano2nnd 9269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
92	85, 90, 91	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	92	abscld 11891	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
94	52, 50	remulcld 8320	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
95		peano2uz 9933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		uznn0sub 9904	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
99	52, 98	reexpcld 11077	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) e. RR )
100	51, 99	remulcld 8320	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR )
101		letr 8372	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
102	93, 94, 100, 101	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
103	83, 102	mpand 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
104	81, 103	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
105	104	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
106	105	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
107	7, 13, 19, 25, 46, 106	uzind4 9938	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
108	1, 107	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ^cexp 10924   abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  12238