ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemmn Unicode version

Theorem cvgratnnlemmn 11426
Description: Lemma for cvgratnn 11432. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
cvgratnn.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 2fveq3 5474 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
3 oveq1 5832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  (
w  -  M )  =  ( M  -  M ) )
43oveq2d 5841 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( M  -  M )
) )
54oveq2d 5841 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) )
62, 5breq12d 3979 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  M
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) )
76imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 M ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) ) )
8 2fveq3 5474 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9 oveq1 5832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  M )  =  ( k  -  M ) )
109oveq2d 5841 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
k  -  M ) ) )
1110oveq2d 5841 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )
128, 11breq12d 3979 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
14 2fveq3 5474 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq1 5832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  M )  =  ( ( k  +  1 )  -  M ) )
1615oveq2d 5841 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )
1716oveq2d 5841 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )
1814, 17breq12d 3979 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
1918imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
20 2fveq3 5474 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
21 oveq1 5832 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  M )  =  ( N  -  M ) )
2221oveq2d 5841 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( N  -  M )
) )
2322oveq2d 5841 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) )
2420, 23breq12d 3979 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) )
2524imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 N ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5469 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2726eleq1d 2226 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
2928ralrimiva 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3127, 29, 30rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
3231abscld 11085 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
3332leidd 8390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( abs `  ( F `  M
) ) )
3430nncnd 8848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534subidd 8175 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
3635oveq2d 5841 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  ( A ^ 0 ) )
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3837recnd 7907 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938exp0d 10549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
4036, 39eqtrd 2190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  1 )
4140oveq2d 5841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  1 ) )
4232recnd 7907 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  CC )
4342mulid1d 7896 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4441, 43eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4533, 44breqtrrd 3993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) )
4645a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) ) )
47 eluznn 9512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
4830, 47sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
4948, 28syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5049abscld 11085 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
5132adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  RR )
5237adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
53 uznn0sub 9471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5453adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5552, 54reexpcld 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  RR )
5651, 55remulcld 7909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  e.  RR )
57 0red 7880 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
5958adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
6057, 52, 59ltled 7995 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <_  A )
61 lemul2a 8731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) ) )
6261ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6438adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
6542adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  CC )
6655recnd 7907 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
6764, 65, 66mul12d 8028 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
6864, 54expp1d 10556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  -  M )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( k  -  M
) )  x.  A
) )
6948nncnd 8848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  CC )
70 1cnd 7895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
71 eluzel2 9445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
7372zcnd 9288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
7469, 70, 73addsubd 8208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  =  ( ( k  -  M )  +  1 ) )
7574oveq2d 5841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  -  M
)  +  1 ) ) )
7664, 66mulcomd 7900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( ( A ^ (
k  -  M ) )  x.  A ) )
7768, 75, 763eqtr4rd 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )
7877oveq2d 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
7967, 78eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
8079breq2d 3978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
8163, 80sylibd 148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
8348, 82syldan 280 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
84 fveq2 5469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8584eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
86 fveq2 5469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
8887cbvralv 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
8929, 88sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9089adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9148peano2nnd 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9285, 90, 91rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9392abscld 11085 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9452, 50remulcld 7909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
95 peano2uz 9495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9695adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97 uznn0sub 9471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9952, 98reexpcld 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  e.  RR )
10051, 99remulcld 7909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )
101 letr 7961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10293, 94, 100, 101syl3anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10383, 102mpand 426 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10481, 103syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
105104expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
106105a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9500 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) ) )
1081, 107mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   class class class wbr 3966   ` cfv 5171  (class class class)co 5825   CCcc 7731   RRcr 7732   0cc0 7733   1c1 7734    + caddc 7736    x. cmul 7738    < clt 7913    <_ cle 7914    - cmin 8047   NNcn 8834   NN0cn0 9091   ZZcz 9168   ZZ>=cuz 9440   ^cexp 10422   abscabs 10901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-rp 9562  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11428
  Copyright terms: Public domain W3C validator