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Theorem cvgratnnlemmn 11262
Description: Lemma for cvgratnn 11268. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
cvgratnn.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 2fveq3 5394 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
3 oveq1 5749 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  (
w  -  M )  =  ( M  -  M ) )
43oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( M  -  M )
) )
54oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) )
62, 5breq12d 3912 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  M
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) )
76imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 M ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) ) )
8 2fveq3 5394 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9 oveq1 5749 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  M )  =  ( k  -  M ) )
109oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
k  -  M ) ) )
1110oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )
128, 11breq12d 3912 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
14 2fveq3 5394 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq1 5749 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  M )  =  ( ( k  +  1 )  -  M ) )
1615oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )
1716oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )
1814, 17breq12d 3912 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
1918imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
20 2fveq3 5394 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
21 oveq1 5749 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  M )  =  ( N  -  M ) )
2221oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( N  -  M )
) )
2322oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) )
2420, 23breq12d 3912 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) )
2524imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 N ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2726eleq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
2928ralrimiva 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3127, 29, 30rspcdva 2768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
3231abscld 10921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
3332leidd 8244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( abs `  ( F `  M
) ) )
3430nncnd 8702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534subidd 8029 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
3635oveq2d 5758 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  ( A ^ 0 ) )
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3837recnd 7762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938exp0d 10386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
4036, 39eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  1 )
4140oveq2d 5758 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  1 ) )
4232recnd 7762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  CC )
4342mulid1d 7751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4441, 43eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4533, 44breqtrrd 3926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) )
4645a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) ) )
47 eluznn 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
4830, 47sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
4948, 28syldan 280 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5049abscld 10921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
5132adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  RR )
5237adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
53 uznn0sub 9325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5453adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5552, 54reexpcld 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  RR )
5651, 55remulcld 7764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  e.  RR )
57 0red 7735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
5958adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
6057, 52, 59ltled 7849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <_  A )
61 lemul2a 8585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) ) )
6261ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6438adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
6542adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  CC )
6655recnd 7762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
6764, 65, 66mul12d 7882 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
6864, 54expp1d 10393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  -  M )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( k  -  M
) )  x.  A
) )
6948nncnd 8702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  CC )
70 1cnd 7750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
71 eluzel2 9299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
7271adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
7372zcnd 9142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
7469, 70, 73addsubd 8062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  =  ( ( k  -  M )  +  1 ) )
7574oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  -  M
)  +  1 ) ) )
7664, 66mulcomd 7755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( ( A ^ (
k  -  M ) )  x.  A ) )
7768, 75, 763eqtr4rd 2161 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )
7877oveq2d 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
7967, 78eqtrd 2150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
8079breq2d 3911 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
8163, 80sylibd 148 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
8348, 82syldan 280 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
84 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8584eleq1d 2186 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
86 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
8887cbvralv 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
8929, 88sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9089adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9148peano2nnd 8703 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9285, 90, 91rspcdva 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9392abscld 10921 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9452, 50remulcld 7764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
95 peano2uz 9346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9695adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97 uznn0sub 9325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9952, 98reexpcld 10409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  e.  RR )
10051, 99remulcld 7764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )
101 letr 7815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10293, 94, 100, 101syl3anc 1201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10383, 102mpand 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10481, 103syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
105104expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
106105a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9351 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) ) )
1081, 107mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769    - cmin 7901   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ^cexp 10260   abscabs 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11264
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