Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cvgratnn.n |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | | 2fveq3 5434 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | 3 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 4 | oveq2d 5798 |
. . . . 5
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(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | 2, 5 | breq12d 3950 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif)
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![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | 6 | imbi2d 229 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
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)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | | 2fveq3 5434 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | 9 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | 10 | oveq2d 5798 |
. . . . 5
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(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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12 | 8, 11 | breq12d 3950 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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13 | 12 | imbi2d 229 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
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14 | | 2fveq3 5434 |
. . . . 5
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15 | | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
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17 | 16 | oveq2d 5798 |
. . . . 5
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(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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18 | 14, 17 | breq12d 3950 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![(
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19 | 18 | imbi2d 229 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
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20 | | 2fveq3 5434 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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21 | | oveq1 5789 |
. . . . . . 7
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. . . . . 6
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23 | 22 | oveq2d 5798 |
. . . . 5
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24 | 20, 23 | breq12d 3950 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![) )](rp.gif)
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25 | 24 | imbi2d 229 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![w w](_w.gif) ![)
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(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | | fveq2 5429 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | 26 | eleq1d 2209 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | | cvgratnn.6 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN NN](bbn.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 28 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . 8
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30 | | cvgratnn.m |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | 27, 29, 30 | rspcdva 2798 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 31 | abscld 10985 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
33 | 32 | leidd 8300 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![)
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34 | 30 | nncnd 8758 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 34 | subidd 8085 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 35 | oveq2d 5798 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif)
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37 | | cvgratnn.3 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37 | recnd 7818 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | 38 | exp0d 10449 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![0 0](0.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) |
40 | 36, 39 | eqtrd 2173 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif)
![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | 40 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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)](rp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 32 | recnd 7818 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
43 | 42 | mulid1d 7807 |
. . . . . 6
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)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | 41, 43 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
45 | 33, 44 | breqtrrd 3964 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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46 | 45 | a1i 9 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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47 | | eluznn 9421 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | 30, 47 | sylan 281 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif)
![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | 48, 28 | syldan 280 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
50 | 49 | abscld 10985 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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. . . . . . . . 9
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![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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52 | 37 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
53 | | uznn0sub 9381 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif)
![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
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. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
55 | 52, 54 | reexpcld 10472 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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56 | 51, 55 | remulcld 7820 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![` `](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
57 | | 0red 7791 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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58 | | cvgratnn.gt0 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
59 | 58 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
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![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
60 | 57, 52, 59 | ltled 7905 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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61 | | lemul2a 8641 |
. . . . . . . . 9
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62 | 61 | ex 114 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![`
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63 | 50, 56, 52, 60, 62 | syl112anc 1221 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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64 | 38 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
65 | 42 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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66 | 55 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![^ ^](uparrow.gif) ![( (](lp.gif) ![M M](_cm.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
67 | 64, 65, 66 | mul12d 7938 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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102 | 93, 94, 100, 101 | syl3anc 1217 |
. . . . . . 7
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103 | 83, 102 | mpand 426 |
. . . . . 6
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104 | 81, 103 | syld 45 |
. . . . 5
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105 | 104 | expcom 115 |
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106 | 105 | a2d 26 |
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107 | 7, 13, 19, 25, 46, 106 | uzind4 9410 |
. 2
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