ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnnlemmn Unicode version

Theorem cvgratnnlemmn 10919
Description: Lemma for cvgratnn 10925. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cvgratnn.4  |-  ( ph  ->  A  <  1 )
cvgratnn.gt0  |-  ( ph  ->  0  <  A )
cvgratnn.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
cvgratnn.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
cvgratnn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
cvgratnn.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
cvgratnnlemmn  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, N    ph, k    k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratnn.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
3 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  (
w  -  M )  =  ( M  -  M ) )
43oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( M  -  M )
) )
54oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) )
62, 5breq12d 3858 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  M
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) )
76imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 M ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) ) ) ) )
8 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
9 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  (
w  -  M )  =  ( k  -  M ) )
109oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
k  -  M ) ) )
1110oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )
128, 11breq12d 3858 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
1312imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
14 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
15 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
w  -  M )  =  ( ( k  +  1 )  -  M ) )
1615oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )
1716oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )
1814, 17breq12d 3858 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
1918imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
20 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  N )
) )
21 oveq1 5659 . . . . . . 7  |-  ( w  =  N  ->  (
w  -  M )  =  ( N  -  M ) )
2221oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( A ^ ( w  -  M ) )  =  ( A ^ ( N  -  M )
) )
2322oveq2d 5668 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) )
2420, 23breq12d 3858 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( abs `  ( F `  w )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
w  -  M ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  N
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) )
2524imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( abs `  ( F `  w
) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( w  -  M ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `
 N ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
26 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
2726eleq1d 2156 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  M )  e.  CC ) )
28 cvgratnn.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
2928ralrimiva 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC )
30 cvgratnn.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3127, 29, 30rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
3231abscld 10614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  RR )
3332leidd 7992 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( abs `  ( F `  M
) ) )
3430nncnd 8436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
3534subidd 7781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
3635oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  ( A ^ 0 ) )
37 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3837recnd 7516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938exp0d 10080 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
4036, 39eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  -  M )
)  =  1 )
4140oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  1 ) )
4232recnd 7516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  e.  CC )
4342mulid1d 7505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4441, 43eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( abs `  ( F `  M )
) )
4533, 44breqtrrd 3871 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) )
4645a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  M )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( M  -  M )
) ) ) )
47 eluznn 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN )
4830, 47sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN )
4948, 28syldan 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5049abscld 10614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
5132adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  RR )
5237adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
53 uznn0sub 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5453adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  -  M )  e.  NN0 )
5552, 54reexpcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  RR )
5651, 55remulcld 7518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  e.  RR )
57 0red 7489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
58 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
5958adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
6057, 52, 59ltled 7602 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <_  A )
61 lemul2a 8320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) ) )
6261ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6350, 56, 52, 60, 62syl112anc 1178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) ) )
6438adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
6542adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  M
) )  e.  CC )
6655recnd 7516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( k  -  M ) )  e.  CC )
6764, 65, 66mul12d 7634 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) ) )
6864, 54expp1d 10087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  -  M )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( k  -  M
) )  x.  A
) )
6948nncnd 8436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  CC )
70 1cnd 7504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  CC )
71 eluzel2 9024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
7271adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
7372zcnd 8869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
7469, 70, 73addsubd 7814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  =  ( ( k  -  M )  +  1 ) )
7574oveq2d 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  =  ( A ^ (
( k  -  M
)  +  1 ) ) )
7664, 66mulcomd 7509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( ( A ^ (
k  -  M ) )  x.  A ) )
7768, 75, 763eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  =  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )
7877oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
7967, 78eqtrd 2120 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 M ) )  x.  ( A ^
( ( k  +  1 )  -  M
) ) ) )
8079breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( A  x.  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) ) )  <->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
8163, 80sylibd 147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `
 k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
82 cvgratnn.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
8348, 82syldan 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
84 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8584eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
86 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  n )  e.  CC ) )
8887cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  CC  <->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
8929, 88sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9089adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  CC )
9148peano2nnd 8437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9285, 90, 91rspcdva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
9392abscld 10614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9452, 50remulcld 7518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
95 peano2uz 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9695adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97 uznn0sub 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
9952, 98reexpcld 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) )  e.  RR )
10051, 99remulcld 7518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )
101 letr 7568 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M
) )  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10293, 94, 100, 101syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10383, 102mpand 420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( A  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
10481, 103syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) )
105104expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
106105a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ (
k  -  M ) ) ) )  -> 
( ph  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( abs `  ( F `  M )
)  x.  ( A ^ ( ( k  +  1 )  -  M ) ) ) ) ) )
1077, 13, 19, 25, 46, 106uzind4 9076 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) ) )
1081, 107mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  N )
)  <_  ( ( abs `  ( F `  M ) )  x.  ( A ^ ( N  -  M )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355    < clt 7522    <_ cle 7523    - cmin 7653   NNcn 8422   NN0cn0 8673   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019   ^cexp 9954   abscabs 10430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432
This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  10921
  Copyright terms: Public domain W3C validator