Theorem cvgratnnlemmn 11535

Description: Lemma for cvgratnn 11541. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratnn.3	|- ( ph -> A e. RR )
cvgratnn.4	|- ( ph -> A < 1 )
cvgratnn.gt0	|- ( ph -> 0 < A )
cvgratnn.6	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
cvgratnn.7	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
cvgratnn.m	|- ( ph -> M e. NN )
cvgratnn.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgratnnlemmn	|- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, N   ph, k   k, M

Proof of Theorem cvgratnnlemmn

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratnn.n	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5522	. . . . 5 |- ( w = M -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
3		oveq1 5884	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( w - M ) = ( M - M ) )
4	3	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( M - M ) ) )
5	4	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
6	2, 5	breq12d 4018	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) ) )
8		2fveq3 5522	. . . . 5 |- ( w = k -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
9		oveq1 5884	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( w - M ) = ( k - M ) )
10	9	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( k - M ) ) )
11	10	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) )
12	8, 11	breq12d 4018	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
14		2fveq3 5522	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15		oveq1 5884	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( w - M ) = ( ( k + 1 ) - M ) )
16	15	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
17	16	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
18	14, 17	breq12d 4018	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
20		2fveq3 5522	. . . . 5 |- ( w = N -> ( abs ` ( F ` w ) ) = ( abs ` ( F ` N ) ) )
21		oveq1 5884	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( w - M ) = ( N - M ) )
22	21	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( A ^ ( w - M ) ) = ( A ^ ( N - M ) ) )
23	22	oveq2d 5893	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )
24	20, 23	breq12d 4018	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
25	24	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` w ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( w - M ) ) ) ) <-> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) ) )
26		fveq2 5517	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
27	26	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` M ) e. CC ) )
28		cvgratnn.6	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
29	28	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. CC )
30		cvgratnn.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
31	27, 29, 30	rspcdva 2848	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
32	31	abscld 11192	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
33	32	leidd 8473	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( abs ` ( F ` M ) ) )
34	30	nncnd 8935	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	subidd 8258	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
36	35	oveq2d 5893	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = ( A ^ 0 ) )
37		cvgratnn.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
38	37	recnd 7988	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
39	38	exp0d 10650	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ^ 0 ) = 1 )
40	36, 39	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^ ( M - M ) ) = 1 )
41	40	oveq2d 5893	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) )
42	32	recnd 7988	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
43	42	mulridd 7976	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) = ( abs ` ( F ` M ) ) )
45	33, 44	breqtrrd 4033	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) )
46	45	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( abs ` ( F ` M ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( M - M ) ) ) ) )
47		eluznn 9602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
48	30, 47	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
49	48, 28	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
50	49	abscld 11192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR )
51	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. RR )
52	37	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. RR )
53		uznn0sub 9561	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k - M ) e. NN0 )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k - M ) e. NN0 )
55	52, 54	reexpcld 10673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. RR )
56	51, 55	remulcld 7990	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR )
57		0red 7960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 e. RR )
58		cvgratnn.gt0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
59	58	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 < A )
60	57, 52, 59	ltled 8078	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 0 <_ A )
61		lemul2a 8818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
62	61	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` k ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
63	50, 56, 52, 60, 62	syl112anc 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) ) )
64	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A e. CC )
65	42	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` M ) ) e. CC )
66	55	recnd 7988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( k - M ) ) e. CC )
67	64, 65, 66	mul12d 8111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) )
68	64, 54	expp1d 10657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
69	48	nncnd 8935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. CC )
70		1cnd 7975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> 1 e. CC )
71		eluzel2 9535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
73	72	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. CC )
74	69, 70, 73	addsubd 8291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) = ( ( k - M ) + 1 ) )
75	74	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) = ( A ^ ( ( k - M ) + 1 ) ) )
76	64, 66	mulcomd 7981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( ( A ^ ( k - M ) ) x. A ) )
77	68, 75, 76	3eqtr4rd 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) = ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) )
78	77	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
79	67, 78	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) )
80	79	breq2d 4017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( A x. ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) <-> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
81	63, 80	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
82		cvgratnn.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
83	48, 82	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) )
84		fveq2 5517	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
85	84	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. CC <-> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC ) )
86		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
87	86	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` n ) e. CC ) )
88	87	cbvralv 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) e. CC <-> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
89	29, 88	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. n e. NN ( F ` n ) e. CC )
91	48	peano2nnd 8936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
92	85, 90, 91	rspcdva 2848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. CC )
93	92	abscld 11192	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
94	52, 50	remulcld 7990	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR )
95		peano2uz 9585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		uznn0sub 9561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k + 1 ) - M ) e. NN0 )
99	52, 98	reexpcld 10673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) e. RR )
100	51, 99	remulcld 7990	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR )
101		letr 8042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
102	93, 94, 100, 101	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) /\ ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
103	83, 102	mpand 429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( A x. ( abs ` ( F ` k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
104	81, 103	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) )
105	104	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
106	105	a2d 26	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( abs ` ( F ` k ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( k - M ) ) ) ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( ( k + 1 ) - M ) ) ) ) ) )
107	7, 13, 19, 25, 46, 106	uzind4 9590	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) ) )
108	1, 107	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` N ) ) <_ ( ( abs ` ( F ` M ) ) x. ( A ^ ( N - M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ^cexp 10521   abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  cvgratnnlemabsle  11537