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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > exp3vallem | Unicode version |
Description: Lemma for exp3val 10020. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
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exp3vallem.a |
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exp3vallem.ap |
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exp3vallem.n |
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Ref | Expression |
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exp3vallem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | exp3vallem.n |
. 2
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2 | fveq2 5320 |
. . . . 5
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3 | 2 | breq1d 3863 |
. . . 4
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4 | 3 | imbi2d 229 |
. . 3
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5 | fveq2 5320 |
. . . . 5
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6 | 5 | breq1d 3863 |
. . . 4
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7 | 6 | imbi2d 229 |
. . 3
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8 | fveq2 5320 |
. . . . 5
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9 | 8 | breq1d 3863 |
. . . 4
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10 | 9 | imbi2d 229 |
. . 3
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11 | fveq2 5320 |
. . . . 5
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12 | 11 | breq1d 3863 |
. . . 4
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13 | 12 | imbi2d 229 |
. . 3
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14 | 1zzd 8840 |
. . . . . 6
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15 | exp3vallem.a |
. . . . . . . 8
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16 | elnnuz 9118 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | biimpri 132 |
. . . . . . . 8
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18 | fvconst2g 5527 |
. . . . . . . 8
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19 | 15, 17, 18 | syl2an 284 |
. . . . . . 7
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20 | 15 | adantr 271 |
. . . . . . 7
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21 | 19, 20 | eqeltrd 2165 |
. . . . . 6
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22 | mulcl 7532 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | adantl 272 |
. . . . . 6
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24 | 14, 21, 23 | seq3-1 9940 |
. . . . 5
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25 | 1nn 8496 |
. . . . . 6
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26 | fvconst2g 5527 |
. . . . . 6
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27 | 15, 25, 26 | sylancl 405 |
. . . . 5
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28 | 24, 27 | eqtrd 2121 |
. . . 4
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29 | exp3vallem.ap |
. . . 4
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30 | 28, 29 | eqbrtrd 3873 |
. . 3
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31 | nnuz 9117 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 16, 21 | sylan2b 282 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 31, 14, 32, 23 | seqf 9943 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | adantl 272 |
. . . . . . . . 9
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35 | simpl 108 |
. . . . . . . . 9
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36 | 34, 35 | ffvelrnd 5451 |
. . . . . . . 8
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37 | 36 | adantr 271 |
. . . . . . 7
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38 | 15 | ad2antlr 474 |
. . . . . . 7
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39 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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40 | 29 | ad2antlr 474 |
. . . . . . 7
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41 | 37, 38, 39, 40 | mulap0d 8190 |
. . . . . 6
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42 | elnnuz 9118 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | 42 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 43 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 21 | adantll 461 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 22 | adantl 272 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 44, 45, 46 | seq3p1 9947 |
. . . . . . . . 9
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48 | 35 | peano2nnd 8500 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | fvconst2g 5527 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 15, 48, 49 | syl2an2 562 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | oveq2d 5684 |
. . . . . . . . 9
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52 | 47, 51 | eqtrd 2121 |
. . . . . . . 8
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53 | 52 | breq1d 3863 |
. . . . . . 7
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54 | 53 | adantr 271 |
. . . . . 6
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55 | 41, 54 | mpbird 166 |
. . . . 5
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56 | 55 | exp31 357 |
. . . 4
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57 | 56 | a2d 26 |
. . 3
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58 | 4, 7, 10, 13, 30, 57 | nnind 8501 |
. 2
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59 | 1, 58 | mpcom 36 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3962 ax-sep 3965 ax-nul 3973 ax-pow 4017 ax-pr 4047 ax-un 4271 ax-setind 4368 ax-iinf 4418 ax-cnex 7499 ax-resscn 7500 ax-1cn 7501 ax-1re 7502 ax-icn 7503 ax-addcl 7504 ax-addrcl 7505 ax-mulcl 7506 ax-mulrcl 7507 ax-addcom 7508 ax-mulcom 7509 ax-addass 7510 ax-mulass 7511 ax-distr 7512 ax-i2m1 7513 ax-0lt1 7514 ax-1rid 7515 ax-0id 7516 ax-rnegex 7517 ax-precex 7518 ax-cnre 7519 ax-pre-ltirr 7520 ax-pre-ltwlin 7521 ax-pre-lttrn 7522 ax-pre-apti 7523 ax-pre-ltadd 7524 ax-pre-mulgt0 7525 ax-pre-mulext 7526 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2624 df-sbc 2844 df-csb 2937 df-dif 3004 df-un 3006 df-in 3008 df-ss 3015 df-nul 3290 df-pw 3437 df-sn 3458 df-pr 3459 df-op 3461 df-uni 3662 df-int 3697 df-iun 3740 df-br 3854 df-opab 3908 df-mpt 3909 df-tr 3945 df-id 4131 df-po 4134 df-iso 4135 df-iord 4204 df-on 4206 df-ilim 4207 df-suc 4209 df-iom 4421 df-xp 4460 df-rel 4461 df-cnv 4462 df-co 4463 df-dm 4464 df-rn 4465 df-res 4466 df-ima 4467 df-iota 4995 df-fun 5032 df-fn 5033 df-f 5034 df-f1 5035 df-fo 5036 df-f1o 5037 df-fv 5038 df-riota 5624 df-ov 5671 df-oprab 5672 df-mpt2 5673 df-1st 5927 df-2nd 5928 df-recs 6086 df-frec 6172 df-pnf 7587 df-mnf 7588 df-xr 7589 df-ltxr 7590 df-le 7591 df-sub 7718 df-neg 7719 df-reap 8115 df-ap 8122 df-inn 8486 df-n0 8737 df-z 8814 df-uz 9083 df-iseq 9916 df-seq3 9917 |
This theorem is referenced by: exp3val 10020 |
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