ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 Unicode version

Theorem infpnlem2 12301
Description: Lemma for infpn 12302. For any positive integer  N, there exists a prime number  j greater than  N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
infpnlem2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, N   
j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5  |-  K  =  ( ( ! `  N )  +  1 )
2 nnnn0 9131 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
32faccld 10659 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
43peano2nnd 8882 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  +  1 )  e.  NN )
51, 4eqeltrid 2257 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  K  e.  NN )
63nnge1d 8910 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  ( ! `  N
) )
7 1nn 8878 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
8 nnleltp1 9260 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `
 N )  +  1 ) ) )
97, 3, 8sylancr 412 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  ( ! `  N )  <->  1  <  ( ( ! `  N
)  +  1 ) ) )
106, 9mpbid 146 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ! `  N )  +  1 ) )
1110, 1breqtrrdi 4029 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  K )
12 nncn 8875 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
13 nnap0 8896 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K #  0 )
1412, 13jca 304 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  CC  /\  K #  0 ) )
15 dividap 8607 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  K #  0 )  ->  ( K  /  K )  =  1 )
165, 14, 153syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  =  1 )
1716, 7eqeltrdi 2261 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  /  K )  e.  NN )
18 breq2 3991 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
1  <  j  <->  1  <  K ) )
19 oveq2 5859 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  K
) )
2019eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  K )  e.  NN ) )
2118, 20anbi12d 470 . . . . 5  |-  ( j  =  K  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) ) )
2221rspcev 2834 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  ( 1  <  K  /\  ( K  /  K
)  e.  NN ) )  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
235, 11, 17, 22syl12anc 1231 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN ) )
24 1zzd 9228 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
25 nnz 9220 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
2625adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
27 zdclt 9278 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  -> DECID  1  <  j )
2824, 26, 27syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  1  <  j )
29 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
305adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  NN )
3130nnzd 9322 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
32 dvdsdc 11749 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  j 
||  K )
3329, 31, 32syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  j 
||  K )
34 nndivdvds 11747 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  ||  K  <->  ( K  /  j )  e.  NN ) )
3534dcbid 833 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (DECID  j  ||  K  <-> DECID  ( K  /  j
)  e.  NN ) )
365, 35sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (DECID  j  ||  K  <-> DECID  ( K  /  j
)  e.  NN ) )
3733, 36mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  ( K  /  j )  e.  NN )
38 dcan2 929 . . . . 5  |-  (DECID  1  < 
j  ->  (DECID  ( K  /  j )  e.  NN  -> DECID  ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN ) ) )
3928, 37, 38sylc 62 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> DECID  ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN ) )
4039ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  A. j  e.  NN DECID  ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN ) )
41 breq2 3991 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
1  <  j  <->  1  <  k ) )
42 oveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( K  /  j )  =  ( K  /  k
) )
4342eleq1d 2239 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( K  /  j
)  e.  NN  <->  ( K  /  k )  e.  NN ) )
4441, 43anbi12d 470 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  <-> 
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN ) ) )
4544nnwosdc 11983 . . 3  |-  ( ( E. j  e.  NN  ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN )  /\  A. j  e.  NN DECID  ( 1  <  j  /\  ( K  /  j
)  e.  NN ) )  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
4623, 40, 45syl2anc 409 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) ) )
471infpnlem1 12300 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  <  j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  ( N  <  j  /\  A. k  e.  NN  (
( j  /  k
)  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
4847reximdva 2572 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. j  e.  NN  ( ( 1  < 
j  /\  ( K  /  j )  e.  NN )  /\  A. k  e.  NN  (
( 1  <  k  /\  ( K  /  k
)  e.  NN )  ->  j  <_  k
) )  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) ) )
4946, 48mpd 13 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. j  e.  NN  ( N  < 
j  /\  A. k  e.  NN  ( ( j  /  k )  e.  NN  ->  ( k  =  1  \/  k  =  j ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   0cc0 7763   1c1 7764    + caddc 7766    < clt 7943    <_ cle 7944   # cap 8489    / cdiv 8578   NNcn 8867   ZZcz 9201   !cfa 10648    || cdvds 11738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-fac 10649  df-dvds 11739
This theorem is referenced by:  infpn  12302
  Copyright terms: Public domain W3C validator