Theorem infpnlem2 13117

Description: Lemma for infpn 13118. For any positive integer N, there exists a prime number j greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, N   j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
2		nnnn0 9549	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	faccld 11152	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	peano2nnd 9298	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
5	1, 4	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( N e. NN -> K e. NN )
6	3	nnge1d 9326	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ ( ! ` N ) )
7		1nn 9294	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
8		nnleltp1 9683	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
9	7, 3, 8	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
10	6, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11	10, 1	breqtrrdi 4167	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 < K )
12		nncn 9291	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
13		nnap0 9312	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K # 0 )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ K # 0 ) )
15		dividap 9021	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ K # 0 ) -> ( K / K ) = 1 )
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K / K ) = 1 )
17	16, 7	eqeltrdi 2329	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K / K ) e. NN )
18		breq2 4129	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( 1 < j <-> 1 < K ) )
19		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( K / j ) = ( K / K ) )
20	19	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / K ) e. NN ) )
21	18, 20	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) )
22	21	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1276	. . 3 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
24		1zzd 9650	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. ZZ )
25		nnz 9642	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
27		zdclt 9701	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> DECID 1 < j )
28	24, 26, 27	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID 1 < j )
29		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
30	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. NN )
31	30	nnzd 9746	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. ZZ )
32		dvdsdc 12543	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ K e. ZZ ) -> DECID j || K )
33	29, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j || K )
34		nndivdvds 12541	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> ( j || K <-> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
36	5, 35	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
37	33, 36	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( K / j ) e. NN )
38	28, 37	dcand 945	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
39	38	ralrimiva 2623	. . 3 |- ( N e. NN -> A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
40		breq2 4129	. . . . 5 |- ( j = k -> ( 1 < j <-> 1 < k ) )
41		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( K / j ) = ( K / k ) )
42	41	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / k ) e. NN ) )
43	40, 42	anbi12d 477	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) ) )
44	43	nnwosdc 12794	. . 3 |- ( ( E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
45	23, 39, 44	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
46	1	infpnlem1 13116	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
47	46	reximdva 2652	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
48	45, 47	mpd 13	1 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   ZZcz 9623   !cfa 11141   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  infpn  13118