Theorem infpnlem2 12301

Description: Lemma for infpn 12302. For any positive integer N, there exists a prime number j greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, N   j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
2		nnnn0 9131	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	faccld 10659	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	peano2nnd 8882	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
5	1, 4	eqeltrid 2257	. . . 4 |- ( N e. NN -> K e. NN )
6	3	nnge1d 8910	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ ( ! ` N ) )
7		1nn 8878	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
8		nnleltp1 9260	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
9	7, 3, 8	sylancr 412	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
10	6, 9	mpbid 146	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11	10, 1	breqtrrdi 4029	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 < K )
12		nncn 8875	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
13		nnap0 8896	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K # 0 )
14	12, 13	jca 304	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ K # 0 ) )
15		dividap 8607	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ K # 0 ) -> ( K / K ) = 1 )
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K / K ) = 1 )
17	16, 7	eqeltrdi 2261	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K / K ) e. NN )
18		breq2 3991	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( 1 < j <-> 1 < K ) )
19		oveq2 5859	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( K / j ) = ( K / K ) )
20	19	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / K ) e. NN ) )
21	18, 20	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) )
22	21	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1231	. . 3 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
24		1zzd 9228	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. ZZ )
25		nnz 9220	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
26	25	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
27		zdclt 9278	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> DECID 1 < j )
28	24, 26, 27	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID 1 < j )
29		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
30	5	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. NN )
31	30	nnzd 9322	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. ZZ )
32		dvdsdc 11749	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ K e. ZZ ) -> DECID j || K )
33	29, 31, 32	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j || K )
34		nndivdvds 11747	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> ( j || K <-> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
36	5, 35	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
37	33, 36	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( K / j ) e. NN )
38		dcan2 929	. . . . 5 |- (DECID 1 < j -> (DECID ( K / j ) e. NN -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) )
39	28, 37, 38	sylc 62	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
40	39	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( N e. NN -> A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
41		breq2 3991	. . . . 5 |- ( j = k -> ( 1 < j <-> 1 < k ) )
42		oveq2 5859	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( K / j ) = ( K / k ) )
43	42	eleq1d 2239	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / k ) e. NN ) )
44	41, 43	anbi12d 470	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) ) )
45	44	nnwosdc 11983	. . 3 |- ( ( E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
46	23, 40, 45	syl2anc 409	. 2 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
47	1	infpnlem1 12300	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
48	47	reximdva 2572	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
49	46, 48	mpd 13	1 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   0cc0 7763   1c1 7764   + caddc 7766   < clt 7943   <_ cle 7944   # cap 8489   / cdiv 8578   NNcn 8867   ZZcz 9201   !cfa 10648   || cdvds 11738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-fl 10215  df-mod 10268  df-seqfrec 10391  df-fac 10649  df-dvds 11739

This theorem is referenced by:  infpn  12302