Theorem infpnlem2 12899

Description: Lemma for infpn 12900. For any positive integer N, there exists a prime number j greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, N   j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
2		nnnn0 9387	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	faccld 10970	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	peano2nnd 9136	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
5	1, 4	eqeltrid 2316	. . . 4 |- ( N e. NN -> K e. NN )
6	3	nnge1d 9164	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ ( ! ` N ) )
7		1nn 9132	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
8		nnleltp1 9517	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
10	6, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11	10, 1	breqtrrdi 4125	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 < K )
12		nncn 9129	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
13		nnap0 9150	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K # 0 )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ K # 0 ) )
15		dividap 8859	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ K # 0 ) -> ( K / K ) = 1 )
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K / K ) = 1 )
17	16, 7	eqeltrdi 2320	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K / K ) e. NN )
18		breq2 4087	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( 1 < j <-> 1 < K ) )
19		oveq2 6015	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( K / j ) = ( K / K ) )
20	19	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / K ) e. NN ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) )
22	21	rspcev 2907	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1269	. . 3 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
24		1zzd 9484	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. ZZ )
25		nnz 9476	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
27		zdclt 9535	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> DECID 1 < j )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID 1 < j )
29		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
30	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. NN )
31	30	nnzd 9579	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. ZZ )
32		dvdsdc 12325	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ K e. ZZ ) -> DECID j || K )
33	29, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j || K )
34		nndivdvds 12323	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> ( j || K <-> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
36	5, 35	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
37	33, 36	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( K / j ) e. NN )
38	28, 37	dcand 938	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
39	38	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( N e. NN -> A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
40		breq2 4087	. . . . 5 |- ( j = k -> ( 1 < j <-> 1 < k ) )
41		oveq2 6015	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( K / j ) = ( K / k ) )
42	41	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / k ) e. NN ) )
43	40, 42	anbi12d 473	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) ) )
44	43	nnwosdc 12576	. . 3 |- ( ( E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
45	23, 39, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
46	1	infpnlem1 12898	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
47	46	reximdva 2632	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
48	45, 47	mpd 13	1 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   CCcc 8008   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   < clt 8192   <_ cle 8193   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   ZZcz 9457   !cfa 10959   || cdvds 12314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-fac 10960  df-dvds 12315

This theorem is referenced by:  infpn  12900