Theorem infpnlem2 12683

Description: Lemma for infpn 12684. For any positive integer N, there exists a prime number j greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, N   j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
2		nnnn0 9302	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	faccld 10881	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	peano2nnd 9051	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
5	1, 4	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( N e. NN -> K e. NN )
6	3	nnge1d 9079	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ ( ! ` N ) )
7		1nn 9047	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
8		nnleltp1 9432	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
10	6, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11	10, 1	breqtrrdi 4086	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 < K )
12		nncn 9044	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
13		nnap0 9065	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K # 0 )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ K # 0 ) )
15		dividap 8774	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ K # 0 ) -> ( K / K ) = 1 )
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K / K ) = 1 )
17	16, 7	eqeltrdi 2296	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K / K ) e. NN )
18		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( 1 < j <-> 1 < K ) )
19		oveq2 5952	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( K / j ) = ( K / K ) )
20	19	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / K ) e. NN ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) )
22	21	rspcev 2877	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1248	. . 3 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
24		1zzd 9399	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. ZZ )
25		nnz 9391	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
27		zdclt 9450	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> DECID 1 < j )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID 1 < j )
29		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
30	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. NN )
31	30	nnzd 9494	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. ZZ )
32		dvdsdc 12109	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ K e. ZZ ) -> DECID j || K )
33	29, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j || K )
34		nndivdvds 12107	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> ( j || K <-> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
36	5, 35	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
37	33, 36	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( K / j ) e. NN )
38	28, 37	dcand 935	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
39	38	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( N e. NN -> A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
40		breq2 4048	. . . . 5 |- ( j = k -> ( 1 < j <-> 1 < k ) )
41		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( K / j ) = ( K / k ) )
42	41	eleq1d 2274	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / k ) e. NN ) )
43	40, 42	anbi12d 473	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) ) )
44	43	nnwosdc 12360	. . 3 |- ( ( E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
45	23, 39, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
46	1	infpnlem1 12682	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
47	46	reximdva 2608	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
48	45, 47	mpd 13	1 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   ZZcz 9372   !cfa 10870   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-fac 10871  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  infpn  12684