Theorem infpnlem2 13083

Description: Lemma for infpn 13084. For any positive integer N, there exists a prime number j greater than N. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	|- K = ( ( ! ` N ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	|- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, N   j, K, k

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 |- K = ( ( ! ` N ) + 1 )
2		nnnn0 9520	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3	2	faccld 11123	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) e. NN )
4	3	peano2nnd 9269	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ! ` N ) + 1 ) e. NN )
5	1, 4	eqeltrid 2321	. . . 4 |- ( N e. NN -> K e. NN )
6	3	nnge1d 9297	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ ( ! ` N ) )
7		1nn 9265	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
8		nnleltp1 9654	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 <_ ( ! ` N ) <-> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) ) )
10	6, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 < ( ( ! ` N ) + 1 ) )
11	10, 1	breqtrrdi 4156	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 < K )
12		nncn 9262	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
13		nnap0 9283	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K # 0 )
14	12, 13	jca 306	. . . . . 6 |- ( K e. NN -> ( K e. CC /\ K # 0 ) )
15		dividap 8992	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ K # 0 ) -> ( K / K ) = 1 )
16	5, 14, 15	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( K / K ) = 1 )
17	16, 7	eqeltrdi 2325	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( K / K ) e. NN )
18		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( 1 < j <-> 1 < K ) )
19		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( j = K -> ( K / j ) = ( K / K ) )
20	19	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( j = K -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / K ) e. NN ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( j = K -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) )
22	21	rspcev 2923	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ ( 1 < K /\ ( K / K ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 1272	. . 3 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
24		1zzd 9621	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. ZZ )
25		nnz 9613	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. ZZ )
27		zdclt 9672	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> DECID 1 < j )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID 1 < j )
29		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. NN )
30	5	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. NN )
31	30	nnzd 9717	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> K e. ZZ )
32		dvdsdc 12509	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ K e. ZZ ) -> DECID j || K )
33	29, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID j || K )
34		nndivdvds 12507	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> ( j || K <-> ( K / j ) e. NN ) )
35	34	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
36	5, 35	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> (DECID j || K <-> DECID ( K / j ) e. NN ) )
37	33, 36	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( K / j ) e. NN )
38	28, 37	dcand 941	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
39	38	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( N e. NN -> A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) )
40		breq2 4118	. . . . 5 |- ( j = k -> ( 1 < j <-> 1 < k ) )
41		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( K / j ) = ( K / k ) )
42	41	eleq1d 2303	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( K / j ) e. NN <-> ( K / k ) e. NN ) )
43	40, 42	anbi12d 473	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) <-> ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) ) )
44	43	nnwosdc 12760	. . 3 |- ( ( E. j e. NN ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. j e. NN DECID ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) ) -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
45	23, 39, 44	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) )
46	1	infpnlem1 13082	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
47	46	reximdva 2646	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. j e. NN ( ( 1 < j /\ ( K / j ) e. NN ) /\ A. k e. NN ( ( 1 < k /\ ( K / k ) e. NN ) -> j <_ k ) ) -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) ) )
48	45, 47	mpd 13	1 |- ( N e. NN -> E. j e. NN ( N < j /\ A. k e. NN ( ( j / k ) e. NN -> ( k = 1 \/ k = j ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   !cfa 11112   || cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-fac 11113  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  infpn  13084