Theorem prodge02 8970

Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prodge02	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Proof of Theorem prodge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8100	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8100	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		mulcom 8096	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
5	4	breq2d 4074	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> 0 <_ ( B x. A ) ) )
6	5	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) -> 0 <_ ( B x. A ) ) )
7		prodge0 8969	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) ) -> 0 <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
9	8	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
10	6, 9	sylan2d 294	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ A ) )
11	10	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   CCcc 7965   RRcr 7966   0cc0 7967   x. cmul 7972   < clt 8149   <_ cle 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288

This theorem is referenced by: (None)