ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodge02 Unicode version

Theorem prodge02 8620
Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
prodge02  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( A  x.  B ) ) )  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem prodge02
StepHypRef Expression
1 recn 7760 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 recn 7760 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
3 mulcom 7756 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
41, 2, 3syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
54breq2d 3941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  0  <_  ( B  x.  A ) ) )
65biimpd 143 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  ->  0  <_  ( B  x.  A ) ) )
7 prodge0 8619 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( B  x.  A ) ) )  ->  0  <_  A )
87ex 114 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( B  x.  A ) )  ->  0  <_  A ) )
98ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( B  x.  A ) )  ->  0  <_  A ) )
106, 9sylan2d 292 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( A  x.  B ) )  ->  0  <_  A ) )
1110imp 123 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  < 
B  /\  0  <_  ( A  x.  B ) ) )  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator