Theorem prodge02 8842

Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prodge02	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Proof of Theorem prodge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7974	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 7974	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		mulcom 7970	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
5	4	breq2d 4030	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> 0 <_ ( B x. A ) ) )
6	5	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) -> 0 <_ ( B x. A ) ) )
7		prodge0 8841	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) ) -> 0 <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
9	8	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
10	6, 9	sylan2d 294	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ A ) )
11	10	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   x. cmul 7846   < clt 8022   <_ cle 8023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161

This theorem is referenced by: (None)