Theorem prodge02 9179

Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prodge02	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Proof of Theorem prodge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8306	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2		recn 8306	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
3		mulcom 8302	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
5	4	breq2d 4140	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) <-> 0 <_ ( B x. A ) ) )
6	5	biimpd 144	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A x. B ) -> 0 <_ ( B x. A ) ) )
7		prodge0 9178	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) ) -> 0 <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
9	8	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( B x. A ) ) -> 0 <_ A ) )
10	6, 9	sylan2d 294	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) -> 0 <_ A ) )
11	10	imp 124	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   CCcc 8171   RRcr 8172   0cc0 8173   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494

This theorem is referenced by: (None)