Theorem ltmul2 9194

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 8928	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( A x. C ) < ( B x. C ) ) )
2		recn 8318	. . . 4 |- ( C e. RR -> C e. CC )
3		recn 8318	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		mulcom 8314	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
5	3, 4	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
6	5	3adant2 1047	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
7		recn 8318	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		mulcom 8314	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
9	7, 8	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
10	9	3adant1 1046	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
11	6, 10	breq12d 4144	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
12	2, 11	syl3an3 1313	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
13	12	3adant3r 1266	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
14	1, 13	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   x. cmul 8190   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  ltmul12a  9198  mulgt1  9201  ltmulgt11  9202  lt2msq1  9223  ltdiv2  9225  ltmul2i  9261  ltmul2d  10157  ef01bndlem  12548  cos01gt0  12555  sin4lt0  12559  pockthg  13165  tangtx  16065  pellexlem2  16230  chtqub  16296  bposlem1  16311  bposlem2  16312  bposlem7  16317  lgsdilem  16351  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402