Theorem prodge02 8874

Description: Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
prodge02	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem prodge02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 8005	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		mulcom 8001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
5	4	breq2d 4041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐵 · 𝐴)))
6	5	biimpd 144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 · 𝐴)))
7		prodge0 8873	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐴)
8	7	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴))
9	8	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴))
10	6, 9	sylan2d 294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴))
11	10	imp 124	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by: (None)