Theorem pw1mapen 17026

Description: Equinumerosity of ( ~P 1o ^m A ) and the set of subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1mapen	|- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

Proof of Theorem pw1mapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6929	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		1oex 6695	. . . 4 |- 1o e. _V
3	2	pwex 4320	. . 3 |- ~P 1o e. _V
4		elex 2833	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 6118	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ~P 1o e. _V /\ A e. _V ) -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1382	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2238	. . 3 |- ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	pw1map 17025	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
9		f1oeng 7043	. 2 |- ( ( ( ~P 1o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A ) -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )
10	6, 8, 9	syl2anc 415	1 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -1-1-onto->wf1o 5376   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   ^m cmap 6922   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-map 6924  df-en 7023

This theorem is used by: (None)