Theorem pw1mapen 16321

Description: Equinumerosity of ( ~P 1o ^m A ) and the set of subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1mapen	|- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

Proof of Theorem pw1mapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6800	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		1oex 6568	. . . 4 |- 1o e. _V
3	2	pwex 4266	. . 3 |- ~P 1o e. _V
4		elex 2811	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 6033	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ~P 1o e. _V /\ A e. _V ) -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1375	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2229	. . 3 |- ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	pw1map 16320	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
9		f1oeng 6906	. 2 |- ( ( ( ~P 1o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A ) -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   X. cxp 4716   Fn wfn 5312   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   1oc1o 6553   ^m cmap 6793   ~~ cen 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-map 6795  df-en 6886

This theorem is referenced by: (None)