Theorem pw1mapen 16597

Description: Equinumerosity of ( ~P 1o ^m A ) and the set of subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1mapen	|- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

Proof of Theorem pw1mapen

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6823	. . 3 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		1oex 6589	. . . 4 |- 1o e. _V
3	2	pwex 4273	. . 3 |- ~P 1o e. _V
4		elex 2814	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
5		fnovex 6050	. . 3 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ ~P 1o e. _V /\ A e. _V ) -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1377	. 2 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) e. _V )
7		eqid 2231	. . 3 |- ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
8	7	pw1map 16596	. 2 |- ( A e. V -> ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
9		f1oeng 6929	. 2 |- ( ( ( ~P 1o ^m A ) e. _V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A ) -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 |- ( A e. V -> ( ~P 1o ^m A ) ~~ ~P A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   ^m cmap 6816   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-map 6818  df-en 6909

This theorem is referenced by: (None)