Theorem pw1mapen 16787

Description: Equinumerosity of (𝒫 1_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1mapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem pw1mapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6891	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		1oex 6657	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3	2	pwex 4298	. . 3 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
4		elex 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 6085	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝒫 1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1378	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2234	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	pw1map 16786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(𝒫 1o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
9		f1oeng 6998	. 2 ⊢ (((𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(𝒫 1o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴) → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  Vcvv 2815  𝒫 cpw 3671   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173   × cxp 4749   Fn wfn 5349  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1_oc1o 6642   ↑_𝑚 cmap 6884   ≈ cen 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-map 6886  df-en 6978

This theorem is referenced by: (None)