Theorem pw1mapen 16074

Description: Equinumerosity of (𝒫 1_o ↑_𝑚 𝐴) and the set of subsets of 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1mapen	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem pw1mapen

Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6755	. . 3 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
2		1oex 6523	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
3	2	pwex 4235	. . 3 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
4		elex 2785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		fnovex 5990	. . 3 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝒫 1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	mp3an12i 1354	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V)
7		eqid 2206	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}) = (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o})
8	7	pw1map 16073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(𝒫 1o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴)
9		f1oeng 6861	. 2 ⊢ (((𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ∈ V ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ↦ {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠‘𝑧) = 1o}):(𝒫 1o ↑𝑚 𝐴)–1-1-onto→𝒫 𝐴) → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
10	6, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 1o ↑𝑚 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489  Vcvv 2773  𝒫 cpw 3621   class class class wbr 4051   ↦ cmpt 4113   × cxp 4681   Fn wfn 5275  –1-1-onto→wf1o 5279  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  1_oc1o 6508   ↑_𝑚 cmap 6748   ≈ cen 6838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-1o 6515  df-map 6750  df-en 6841

This theorem is referenced by: (None)