Theorem pw1map 16939

Description: Mapping between ( ~P 1o ^m A ) and subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
pw1map.f	|- F = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )

Assertion

Ref	Expression
pw1map	|- ( A e. V -> F : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )

Distinct variable groups:   A, s, z   V, s, z

Allowed substitution hints:   F( z, s)

Proof of Theorem pw1map

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1map.f	. 2 |- F = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
2		ssrab2 3333	. . . 4 |- { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A
3		elpw2g 4287	. . . 4 |- ( A e. V -> ( { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A <-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A ) )
4	2, 3	mpbiri 168	. . 3 |- ( A e. V -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ s e. ( ~P 1o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
6		fmelpw1o 7596	. . . . 5 |- if ( u e. w , 1o , (/) ) e. ~P 1o
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
8	7	fmpttd 5854	. . 3 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> ~P 1o )
9		1oex 6685	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	pwex 4315	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ~P 1o e. _V )
12		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> A e. V )
13	11, 12	elmapd 6926	. . 3 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( ~P 1o ^m A ) <-> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> ~P 1o ) )
14	8, 13	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( ~P 1o ^m A ) )
15		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
16	15	fveq1d 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) )
17		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) )
18		elequ1 2213	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
19	18	ifbid 3659	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
21		0ex 4255	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
22	9, 21	ifex 4627	. . . . . . . . . 10 |- if ( z e. w , 1o , (/) ) e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) e. _V )
24	17, 19, 20, 23	fvmptd3 5793	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
25	16, 24	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
26	25	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( s ` z ) = 1o <-> if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o ) )
27		iftrueb01 7572	. . . . . 6 |- ( if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o <-> z e. w )
28	26, 27	bitr2di 197	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
29	28	rabbidva 2809	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
30		elpwi 3694	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~P A -> w C_ A )
31		dfss1 3435	. . . . . . . . 9 |- ( w C_ A <-> ( A i^i w ) = w )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( w e. ~P A -> ( A i^i w ) = w )
33		dfin5 3227	. . . . . . . 8 |- ( A i^i w ) = { z e. A | z e. w }
34	32, 33	eqtr3di 2286	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P A -> w = { z e. A | z e. w } )
35	34	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( w e. ~P A -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
36	35	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
37	36	ad2antlr 493	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
38	29, 37	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
39		simplrl 541	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s e. ( ~P 1o ^m A ) )
40	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ~P 1o e. _V )
41		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> A e. V )
42	40, 41	elmapd 6926	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( s e. ( ~P 1o ^m A ) <-> s : A --> ~P 1o ) )
43	39, 42	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s : A --> ~P 1o )
44	43	feqmptd 5750	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> ( s ` u ) ) )
45		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
46	45	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
47		fveqeq2 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` u ) = 1o ) )
48	47	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) )
49	46, 48	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
50	49	baibd 935	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
51	50	ifbid 3659	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) )
52	43	ffvelcdmda 5834	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. ~P 1o )
53		pw1if 7574	. . . . . . 7 |- ( ( s ` u ) e. ~P 1o -> if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) = ( s ` u ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) = ( s ` u ) )
55	51, 54	eqtr2d 2272	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
56	55	mpteq2dva 4216	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. A |-> ( s ` u ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
57	44, 56	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
58	38, 57	impbida 604	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
59	1, 5, 14, 58	f1o2d 6285	1 |- ( A e. V -> F : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   ~Pcpw 3685   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   ^m cmap 6912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-map 6914

This theorem is referenced by:  pw1mapen  16940