Theorem pw1map 16700

Description: Mapping between ( ~P 1o ^m A ) and subsets of A. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
pw1map.f	|- F = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )

Assertion

Ref	Expression
pw1map	|- ( A e. V -> F : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )

Distinct variable groups:   A, s, z   V, s, z

Allowed substitution hints:   F( z, s)

Proof of Theorem pw1map

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1map.f	. 2 |- F = ( s e. ( ~P 1o ^m A ) |-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
2		ssrab2 3313	. . . 4 |- { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A
3		elpw2g 4251	. . . 4 |- ( A e. V -> ( { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A <-> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } C_ A ) )
4	2, 3	mpbiri 168	. . 3 |- ( A e. V -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. V /\ s e. ( ~P 1o ^m A ) ) -> { z e. A | ( s ` z ) = 1o } e. ~P A )
6		fmelpw1o 7508	. . . . 5 |- if ( u e. w , 1o , (/) ) e. ~P 1o
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) e. ~P 1o )
8	7	fmpttd 5810	. . 3 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> ~P 1o )
9		1oex 6633	. . . . . 6 |- 1o e. _V
10	9	pwex 4279	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
11	10	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ~P 1o e. _V )
12		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> A e. V )
13	11, 12	elmapd 6874	. . 3 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( ~P 1o ^m A ) <-> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) : A --> ~P 1o ) )
14	8, 13	mpbird 167	. 2 |- ( ( A e. V /\ w e. ~P A ) -> ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) e. ( ~P 1o ^m A ) )
15		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
16	15	fveq1d 5650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) )
17		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) )
18		elequ1 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( u = z -> ( u e. w <-> z e. w ) )
19	18	ifbid 3631	. . . . . . . . 9 |- ( u = z -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
21		0ex 4221	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
22	9, 21	ifex 4589	. . . . . . . . . 10 |- if ( z e. w , 1o , (/) ) e. _V
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> if ( z e. w , 1o , (/) ) e. _V )
24	17, 19, 20, 23	fvmptd3 5749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
25	16, 24	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( s ` z ) = if ( z e. w , 1o , (/) ) )
26	25	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( s ` z ) = 1o <-> if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o ) )
27		iftrueb01 7484	. . . . . 6 |- ( if ( z e. w , 1o , (/) ) = 1o <-> z e. w )
28	26, 27	bitr2di 197	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( z e. w <-> ( s ` z ) = 1o ) )
29	28	rabbidva 2791	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
30		elpwi 3665	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~P A -> w C_ A )
31		dfss1 3413	. . . . . . . . 9 |- ( w C_ A <-> ( A i^i w ) = w )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( w e. ~P A -> ( A i^i w ) = w )
33		dfin5 3208	. . . . . . . 8 |- ( A i^i w ) = { z e. A | z e. w }
34	32, 33	eqtr3di 2279	. . . . . . 7 |- ( w e. ~P A -> w = { z e. A | z e. w } )
35	34	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( w e. ~P A -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
36	35	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
37	36	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> ( w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> { z e. A | z e. w } = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
38	29, 37	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
39		simplrl 537	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s e. ( ~P 1o ^m A ) )
40	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ~P 1o e. _V )
41		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> A e. V )
42	40, 41	elmapd 6874	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( s e. ( ~P 1o ^m A ) <-> s : A --> ~P 1o ) )
43	39, 42	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s : A --> ~P 1o )
44	43	feqmptd 5708	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> ( s ` u ) ) )
45		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } )
46	45	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
47		fveqeq2 5657	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( ( s ` z ) = 1o <-> ( s ` u ) = 1o ) )
48	47	elrab 2963	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z e. A | ( s ` z ) = 1o } <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) )
49	46, 48	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. w <-> ( u e. A /\ ( s ` u ) = 1o ) ) )
50	49	baibd 931	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( u e. w <-> ( s ` u ) = 1o ) )
51	50	ifbid 3631	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> if ( u e. w , 1o , (/) ) = if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) )
52	43	ffvelcdmda 5790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) e. ~P 1o )
53		pw1if 7486	. . . . . . 7 |- ( ( s ` u ) e. ~P 1o -> if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) = ( s ` u ) )
54	52, 53	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> if ( ( s ` u ) = 1o , 1o , (/) ) = ( s ` u ) )
55	51, 54	eqtr2d 2265	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) /\ u e. A ) -> ( s ` u ) = if ( u e. w , 1o , (/) ) )
56	55	mpteq2dva 4184	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> ( u e. A |-> ( s ` u ) ) = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
57	44, 56	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) /\ w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) -> s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) )
58	38, 57	impbida 600	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( s e. ( ~P 1o ^m A ) /\ w e. ~P A ) ) -> ( s = ( u e. A |-> if ( u e. w , 1o , (/) ) ) <-> w = { z e. A | ( s ` z ) = 1o } ) )
59	1, 5, 14, 58	f1o2d 6238	1 |- ( A e. V -> F : ( ~P 1o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   _Vcvv 2803   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ifcif 3607   ~Pcpw 3656   |-> cmpt 4155   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   ^m cmap 6860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-map 6862

This theorem is referenced by:  pw1mapen  16701