Theorem residfi 7001

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 4998	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		funi 5287	. . . . 5 ⊢ Fun I
3		funres 5296	. . . . 5 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
5		fundmfi 6998	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)) → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2281	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
8		f1ovi 5540	. . . 4 ⊢ I :V–1-1-onto→V
9		f1ofn 5502	. . . 4 ⊢ ( I :V–1-1-onto→V → I Fn V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ I Fn V
11		ssv 3202	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
12		resfnfinfinss 7000	. . 3 ⊢ (( I Fn V ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp3an13 1339	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
14	7, 13	impbii 126	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154   I cid 4320  dom cdm 4660   ↾ cres 4662  Fun wfun 5249   Fn wfn 5250  –1-1-onto→wf1o 5254  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by: (None)