Theorem residfi 7220

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5098	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		funi 5389	. . . . 5 ⊢ Fun I
3		funres 5398	. . . . 5 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
5		fundmfi 7217	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)) → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2322	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
8		f1ovi 5660	. . . 4 ⊢ I :V–1-1-onto→V
9		f1ofn 5620	. . . 4 ⊢ ( I :V–1-1-onto→V → I Fn V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ I Fn V
11		ssv 3264	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
12		resfnfinfinss 7219	. . 3 ⊢ (( I Fn V ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp3an13 1365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
14	7, 13	impbii 126	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   I cid 4414  dom cdm 4754   ↾ cres 4756  Fun wfun 5351   Fn wfn 5352  –1-1-onto→wf1o 5356  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by: (None)