Theorem residfi 6999

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 4997	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		funi 5286	. . . . 5 ⊢ Fun I
3		funres 5295	. . . . 5 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
5		fundmfi 6996	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)) → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2281	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
8		f1ovi 5539	. . . 4 ⊢ I :V–1-1-onto→V
9		f1ofn 5501	. . . 4 ⊢ ( I :V–1-1-onto→V → I Fn V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ I Fn V
11		ssv 3201	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
12		resfnfinfinss 6998	. . 3 ⊢ (( I Fn V ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp3an13 1339	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
14	7, 13	impbii 126	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153   I cid 4319  dom cdm 4659   ↾ cres 4661  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  –1-1-onto→wf1o 5253  Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)