Theorem residfi 7182

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5074	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		funi 5365	. . . . 5 ⊢ Fun I
3		funres 5374	. . . . 5 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
5		fundmfi 7179	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)) → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2319	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
8		f1ovi 5633	. . . 4 ⊢ I :V–1-1-onto→V
9		f1ofn 5593	. . . 4 ⊢ ( I :V–1-1-onto→V → I Fn V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ I Fn V
11		ssv 3250	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
12		resfnfinfinss 7181	. . 3 ⊢ (( I Fn V ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp3an13 1365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
14	7, 13	impbii 126	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   I cid 4391  dom cdm 4731   ↾ cres 4733  Fun wfun 5327   Fn wfn 5328  –1-1-onto→wf1o 5332  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by: (None)