Theorem residfi 7259

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5121	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		funi 5412	. . . . 5 ⊢ Fun I
3		funres 5421	. . . . 5 ⊢ (Fun I → Fun ( I ↾ 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ( I ↾ 𝐴)
5		fundmfi 7256	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ∧ Fun ( I ↾ 𝐴)) → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
6	4, 5	mpan2 429	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2326	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
8		f1ovi 5683	. . . 4 ⊢ I :V–1-1-onto→V
9		f1ofn 5643	. . . 4 ⊢ ( I :V–1-1-onto→V → I Fn V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ I Fn V
11		ssv 3270	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
12		resfnfinfinss 7258	. . 3 ⊢ (( I Fn V ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
13	10, 11, 12	mp3an13 1369	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
14	7, 13	impbii 126	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   I cid 4435  dom cdm 4776   ↾ cres 4778  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  –1-1-onto→wf1o 5379  Fincfn 7027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-fin 7030

This theorem is used by: (None)