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Theorem rexrnmpt 5659
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ralrnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
ralrnmpt.2  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, B    ch, y    y, F    ps, x
Allowed substitution hints:    ps( y)    ch( x)    A( y)    B( x)    F( x)    V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralrnmpt.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
21fnmpt 5342 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
3 dfsbcq 2964 . . . . 5  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( [. w  /  y ]. ps  <->  [. ( F `  z )  /  y ]. ps ) )
43rexrn 5653 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( E. w  e.  ran  F
[. w  /  y ]. ps  <->  E. z  e.  A  [. ( F `  z
)  /  y ]. ps ) )
52, 4syl 14 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  E. z  e.  A  [. ( F `  z
)  /  y ]. ps ) )
6 nfv 1528 . . . . 5  |-  F/ w ps
7 nfsbc1v 2981 . . . . 5  |-  F/ y
[. w  /  y ]. ps
8 sbceq1a 2972 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<-> 
[. w  /  y ]. ps ) )
96, 7, 8cbvrex 2700 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. w  e.  ran  F
[. w  /  y ]. ps )
109bicomi 132 . . 3  |-  ( E. w  e.  ran  F [. w  /  y ]. ps  <->  E. y  e.  ran  F ps )
11 nfmpt1 4096 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
121, 11nfcxfr 2316 . . . . . 6  |-  F/_ x F
13 nfcv 2319 . . . . . 6  |-  F/_ x
z
1412, 13nffv 5525 . . . . 5  |-  F/_ x
( F `  z
)
15 nfv 1528 . . . . 5  |-  F/ x ps
1614, 15nfsbc 2983 . . . 4  |-  F/ x [. ( F `  z
)  /  y ]. ps
17 nfv 1528 . . . 4  |-  F/ z
[. ( F `  x )  /  y ]. ps
18 fveq2 5515 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
1918sbceq1d 2967 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( [. ( F `  z
)  /  y ]. ps 
<-> 
[. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
2016, 17, 19cbvrex 2700 . . 3  |-  ( E. z  e.  A  [. ( F `  z )  /  y ]. ps  <->  E. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps )
215, 10, 203bitr3g 222 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps ) )
221fvmpt2 5599 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  x
)  =  B )
2322sbceq1d 2967 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  [. B  / 
y ]. ps ) )
24 ralrnmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2524sbcieg 2995 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( [. B  /  y ]. ps  <->  ch ) )
2625adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. B  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
2723, 26bitrd 188 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  ch )
)
2827ralimiaa 2539 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )
29 pm5.32 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps )  <->  ( x  e.  A  /\  ch )
) )
3029albii 1470 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )  <->  A. x
( ( x  e.  A  /\  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) 
<->  ( x  e.  A  /\  ch ) ) )
31 exbi 1604 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  /\  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) 
<->  ( x  e.  A  /\  ch ) )  -> 
( E. x ( x  e.  A  /\  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ch ) ) )
3230, 31sylbi 121 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  ch ) )  ->  ( E. x ( x  e.  A  /\  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  ch ) ) )
33 df-ral 2460 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  ch )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ( [. ( F `
 x )  / 
y ]. ps  <->  ch )
) )
34 df-rex 2461 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  E. x ( x  e.  A  /\  [. ( F `  x )  /  y ]. ps ) )
35 df-rex 2461 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ch  <->  E. x ( x  e.  A  /\  ch )
)
3634, 35bibi12i 229 . . . 4  |-  ( ( E. x  e.  A  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  E. x  e.  A  ch )  <->  ( E. x
( x  e.  A  /\  [. ( F `  x )  /  y ]. ps )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  ch ) ) )
3732, 33, 363imtr4i 201 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  ch )  ->  ( E. x  e.  A  [. ( F `  x
)  /  y ]. ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
3828, 37syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. x  e.  A  [. ( F `  x )  /  y ]. ps  <->  E. x  e.  A  ch ) )
3921, 38bitrd 188 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( E. y  e.  ran  F ps 
<->  E. x  e.  A  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [.wsbc 2962    |-> cmpt 4064   ran crn 4627    Fn wfn 5211   ` cfv 5216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224
This theorem is referenced by:  txbas  13651
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