Theorem rexrnmpt 5723

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralrnmpt.1	|- F = ( x e. A |-> B )
ralrnmpt.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, B   ch, y   y, F   ps, x

Allowed substitution hints:   ps( y)   ch( x)   A( y)   B( x)   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralrnmpt.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	fnmpt 5402	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )
3		dfsbcq 3000	. . . . 5 |- ( w = ( F ` z ) -> ( [. w / y ]. ps <-> [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
4	3	rexrn 5717	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
6		nfv 1551	. . . . 5 |- F/ w ps
7		nfsbc1v 3017	. . . . 5 |- F/ y [. w / y ]. ps
8		sbceq1a 3008	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / y ]. ps ) )
9	6, 7, 8	cbvrex 2735	. . . 4 |- ( E. y e. ran F ps <-> E. w e. ran F [. w / y ]. ps )
10	9	bicomi 132	. . 3 |- ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. y e. ran F ps )
11		nfmpt1 4137	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12	1, 11	nfcxfr 2345	. . . . . 6 |- F/_ x F
13		nfcv 2348	. . . . . 6 |- F/_ x z
14	12, 13	nffv 5586	. . . . 5 |- F/_ x ( F ` z )
15		nfv 1551	. . . . 5 |- F/ x ps
16	14, 15	nfsbc 3019	. . . 4 |- F/ x [. ( F ` z ) / y ]. ps
17		nfv 1551	. . . 4 |- F/ z [. ( F ` x ) / y ]. ps
18		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
19	18	sbceq1d 3003	. . . 4 |- ( z = x -> ( [. ( F ` z ) / y ]. ps <-> [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
20	16, 17, 19	cbvrex 2735	. . 3 |- ( E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps <-> E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps )
21	5, 10, 20	3bitr3g 222	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
22	1	fvmpt2 5663	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( F ` x ) = B )
23	22	sbceq1d 3003	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> [. B / y ]. ps ) )
24		ralrnmpt.2	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
25	24	sbcieg 3031	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( [. B / y ]. ps <-> ch ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. B / y ]. ps <-> ch ) )
27	23, 26	bitrd 188	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) )
28	27	ralimiaa 2568	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) )
29		pm5.32 453	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) <-> ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
30	29	albii 1493	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
31		exbi 1627	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
32	30, 31	sylbi 121	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
33		df-ral 2489	. . . 4 |- ( A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) <-> A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) )
34		df-rex 2490	. . . . 5 |- ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
35		df-rex 2490	. . . . 5 |- ( E. x e. A ch <-> E. x ( x e. A /\ ch ) )
36	34, 35	bibi12i 229	. . . 4 |- ( ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) <-> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
37	32, 33, 36	3imtr4i 201	. . 3 |- ( A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) -> ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) )
38	28, 37	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) )
39	21, 38	bitrd 188	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   [.wsbc 2998   |-> cmpt 4105   ran crn 4676   Fn wfn 5266   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  txbas  14730