Theorem rexrnmpt 5622

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralrnmpt.1	|- F = ( x e. A |-> B )
ralrnmpt.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrnmpt	|- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, B   ch, y   y, F   ps, x

Allowed substitution hints:   ps( y)   ch( x)   A( y)   B( x)   F( x)   V( x, y)

Proof of Theorem rexrnmpt

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralrnmpt.1	. . . . 5 |- F = ( x e. A |-> B )
2	1	fnmpt 5308	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. V -> F Fn A )
3		dfsbcq 2948	. . . . 5 |- ( w = ( F ` z ) -> ( [. w / y ]. ps <-> [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
4	3	rexrn 5616	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
5	2, 4	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps ) )
6		nfv 1515	. . . . 5 |- F/ w ps
7		nfsbc1v 2964	. . . . 5 |- F/ y [. w / y ]. ps
8		sbceq1a 2955	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ps <-> [. w / y ]. ps ) )
9	6, 7, 8	cbvrex 2686	. . . 4 |- ( E. y e. ran F ps <-> E. w e. ran F [. w / y ]. ps )
10	9	bicomi 131	. . 3 |- ( E. w e. ran F [. w / y ]. ps <-> E. y e. ran F ps )
11		nfmpt1 4069	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
12	1, 11	nfcxfr 2303	. . . . . 6 |- F/_ x F
13		nfcv 2306	. . . . . 6 |- F/_ x z
14	12, 13	nffv 5490	. . . . 5 |- F/_ x ( F ` z )
15		nfv 1515	. . . . 5 |- F/ x ps
16	14, 15	nfsbc 2966	. . . 4 |- F/ x [. ( F ` z ) / y ]. ps
17		nfv 1515	. . . 4 |- F/ z [. ( F ` x ) / y ]. ps
18		fveq2 5480	. . . . 5 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
19	18	sbceq1d 2951	. . . 4 |- ( z = x -> ( [. ( F ` z ) / y ]. ps <-> [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
20	16, 17, 19	cbvrex 2686	. . 3 |- ( E. z e. A [. ( F ` z ) / y ]. ps <-> E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps )
21	5, 10, 20	3bitr3g 221	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
22	1	fvmpt2 5563	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( F ` x ) = B )
23	22	sbceq1d 2951	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> [. B / y ]. ps ) )
24		ralrnmpt.2	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
25	24	sbcieg 2978	. . . . . 6 |- ( B e. V -> ( [. B / y ]. ps <-> ch ) )
26	25	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. B / y ]. ps <-> ch ) )
27	23, 26	bitrd 187	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) )
28	27	ralimiaa 2526	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) )
29		pm5.32 449	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) <-> ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
30	29	albii 1457	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) <-> A. x ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) )
31		exbi 1591	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> ( x e. A /\ ch ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
32	30, 31	sylbi 120	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
33		df-ral 2447	. . . 4 |- ( A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) <-> A. x ( x e. A -> ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) ) )
34		df-rex 2448	. . . . 5 |- ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) )
35		df-rex 2448	. . . . 5 |- ( E. x e. A ch <-> E. x ( x e. A /\ ch ) )
36	34, 35	bibi12i 228	. . . 4 |- ( ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) <-> ( E. x ( x e. A /\ [. ( F ` x ) / y ]. ps ) <-> E. x ( x e. A /\ ch ) ) )
37	32, 33, 36	3imtr4i 200	. . 3 |- ( A. x e. A ( [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> ch ) -> ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) )
38	28, 37	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. x e. A [. ( F ` x ) / y ]. ps <-> E. x e. A ch ) )
39	21, 38	bitrd 187	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( E. y e. ran F ps <-> E. x e. A ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   [.wsbc 2946   |-> cmpt 4037   ran crn 4599   Fn wfn 5177   ` cfv 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-fv 5190

This theorem is referenced by:  txbas  12799