Theorem psr1clfi 14673

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	|- ( ph -> U e. B )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   ph, x   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   U( x, f)   .1. ( f)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
2		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 14004	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .1. e. ( Base ` R ) )
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
8	2, 7	ring0cl 14005	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
12		0z 9473	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
13		cnveq 4899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = x -> `' f = `' x )
14	13	imaeq1d 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = x -> ( `' f " NN ) = ( `' x " NN ) )
15	14	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = x -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' x " NN ) e. Fin ) )
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
17	15, 16	elrab2 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. D <-> ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' x " NN ) e. Fin ) )
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. D -> x e. ( NN0 ^m I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
20		nn0ex 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> NN0 e. _V )
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> I e. Fin )
23	21, 22	elmapd 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x e. ( NN0 ^m I ) <-> x : I --> NN0 ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
25	24	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
26	25	nn0zd 9583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. ZZ )
27		zdceq 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( x ` z ) e. ZZ ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) )
30		dcfi 7164	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
31	11, 29, 30	syl2an2r 597	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
32		0nn0 9400	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
33	32	rgenw 2585	. . . . . . . . . 10 |- A. z e. I 0 e. NN0
34		mpteqb 5730	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. I 0 e. NN0 -> ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
36	35	dcbii 845	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
38		eqcom 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
39	38	dcbii 845	. . . . . . 7 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
41	24	feqmptd 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
42		fconstmpt 4768	. . . . . . . . 9 |- ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 )
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 ) )
44	41, 43	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
45	44	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (DECID x = ( I X. { 0 } ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID x = ( I X. { 0 } ) )
47	6, 10, 46	ifcldcd 3640	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
48		psr1cl.u	. . . 4 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
49	47, 48	fmptd 5794	. . 3 |- ( ph -> U : D --> ( Base ` R ) )
50		basfn 13112	. . . . 5 |- Base Fn _V
51	1	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
52		funfvex 5649	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
53	52	funfni 5426	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
55		fnmap 6815	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
56	11	elexd 2813	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
57		fnovex 6043	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1375	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
59	16, 58	rabexd 4230	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
60	54, 59	elmapd 6822	. . 3 |- ( ph -> ( U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> U : D --> ( Base ` R ) ) )
61	49, 60	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
62		psrring.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
63		psr1cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14659	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
65	61, 64	eleqtrrd 2309	1 |- ( ph -> U e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ifcif 3602   {csn 3666   |-> cmpt 4145   X. cxp 4718   `'ccnv 4719   "cima 4723   Fn wfn 5316   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   Fincfn 6900   0cc0 8015   NNcn 9126   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   Basecbs 13053   0gc0g 13310   1rcur 13943   Ringcrg 13980   mPwSer cmps 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-er 6693  df-map 6810  df-ixp 6859  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-psr 14648

This theorem is referenced by: (None)