Theorem psr1clfi 14769

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	|- ( ph -> U e. B )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   ph, x   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   U( x, f)   .1. ( f)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
2		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 14095	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .1. e. ( Base ` R ) )
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
8	2, 7	ring0cl 14096	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
12		0z 9533	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
13		cnveq 4910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = x -> `' f = `' x )
14	13	imaeq1d 5081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = x -> ( `' f " NN ) = ( `' x " NN ) )
15	14	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = x -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' x " NN ) e. Fin ) )
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
17	15, 16	elrab2 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. D <-> ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' x " NN ) e. Fin ) )
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. D -> x e. ( NN0 ^m I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
20		nn0ex 9451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> NN0 e. _V )
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> I e. Fin )
23	21, 22	elmapd 6874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x e. ( NN0 ^m I ) <-> x : I --> NN0 ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
25	24	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
26	25	nn0zd 9643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. ZZ )
27		zdceq 9598	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( x ` z ) e. ZZ ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
29	28	ralrimiva 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) )
30		dcfi 7223	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
31	11, 29, 30	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
32		0nn0 9460	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
33	32	rgenw 2588	. . . . . . . . . 10 |- A. z e. I 0 e. NN0
34		mpteqb 5746	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. I 0 e. NN0 -> ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
36	35	dcbii 848	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
38		eqcom 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
39	38	dcbii 848	. . . . . . 7 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
41	24	feqmptd 5708	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
42		fconstmpt 4779	. . . . . . . . 9 |- ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 )
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 ) )
44	41, 43	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
45	44	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (DECID x = ( I X. { 0 } ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID x = ( I X. { 0 } ) )
47	6, 10, 46	ifcldcd 3647	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
48		psr1cl.u	. . . 4 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
49	47, 48	fmptd 5809	. . 3 |- ( ph -> U : D --> ( Base ` R ) )
50		basfn 13202	. . . . 5 |- Base Fn _V
51	1	elexd 2817	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
52		funfvex 5665	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
53	52	funfni 5439	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
55		fnmap 6867	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
56	11	elexd 2817	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
57		fnovex 6061	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1378	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
59	16, 58	rabexd 4240	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
60	54, 59	elmapd 6874	. . 3 |- ( ph -> ( U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> U : D --> ( Base ` R ) ) )
61	49, 60	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
62		psrring.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
63		psr1cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14755	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
65	61, 64	eleqtrrd 2311	1 |- ( ph -> U e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   ifcif 3607   {csn 3673   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   0cc0 8075   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   Basecbs 13143   0gc0g 13400   1rcur 14034   Ringcrg 14071   mPwSer cmps 14737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-er 6745  df-map 6862  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-tset 13240  df-rest 13385  df-topn 13386  df-0g 13402  df-topgen 13404  df-pt 13405  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-ring 14073  df-psr 14739

This theorem is referenced by: (None)