Theorem psr1clfi 14494

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrringfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr1clfi	|- ( ph -> U e. B )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   ph, x   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   U( x, f)   .1. ( f)

Proof of Theorem psr1clfi

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Ring )
2		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.o	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 13826	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
5	1, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .1. e. ( Base ` R ) )
7		psr1cl.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
8	2, 7	ring0cl 13827	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> .0. e. ( Base ` R ) )
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
10	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
11		psrringfi.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
12		0z 9390	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ZZ
13		cnveq 4856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = x -> `' f = `' x )
14	13	imaeq1d 5026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = x -> ( `' f " NN ) = ( `' x " NN ) )
15	14	eleq1d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = x -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' x " NN ) e. Fin ) )
16		psr1cl.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
17	15, 16	elrab2 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. D <-> ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ ( `' x " NN ) e. Fin ) )
18	17	simplbi 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. D -> x e. ( NN0 ^m I ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
20		nn0ex 9308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> NN0 e. _V )
22	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> I e. Fin )
23	21, 22	elmapd 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x e. ( NN0 ^m I ) <-> x : I --> NN0 ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
25	24	ffvelcdmda 5722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
26	25	nn0zd 9500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. ZZ )
27		zdceq 9455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( x ` z ) e. ZZ ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. I ) -> DECID 0 = ( x ` z ) )
29	28	ralrimiva 2580	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) )
30		dcfi 7090	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. Fin /\ A. z e. I DECID 0 = ( x ` z ) ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
31	11, 29, 30	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
32		0nn0 9317	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
33	32	rgenw 2562	. . . . . . . . . 10 |- A. z e. I 0 e. NN0
34		mpteqb 5677	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. I 0 e. NN0 -> ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
36	35	dcbii 842	. . . . . . . 8 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID A. z e. I 0 = ( x ` z ) )
37	31, 36	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
38		eqcom 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
39	38	dcbii 842	. . . . . . 7 |- (DECID ( z e. I |-> 0 ) = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
40	37, 39	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) )
41	24	feqmptd 5639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
42		fconstmpt 4726	. . . . . . . . 9 |- ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 )
43	42	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( I X. { 0 } ) = ( z e. I |-> 0 ) )
44	41, 43	eqeq12d 2221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
45	44	dcbid 840	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> (DECID x = ( I X. { 0 } ) <-> DECID ( z e. I |-> ( x ` z ) ) = ( z e. I |-> 0 ) ) )
46	40, 45	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> DECID x = ( I X. { 0 } ) )
47	6, 10, 46	ifcldcd 3609	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. ( Base ` R ) )
48		psr1cl.u	. . . 4 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
49	47, 48	fmptd 5741	. . 3 |- ( ph -> U : D --> ( Base ` R ) )
50		basfn 12934	. . . . 5 |- Base Fn _V
51	1	elexd 2786	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
52		funfvex 5600	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
53	52	funfni 5381	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
54	50, 51, 53	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
55		fnmap 6749	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
56	11	elexd 2786	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
57		fnovex 5984	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
58	55, 20, 56, 57	mp3an12i 1354	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
59	16, 58	rabexd 4193	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
60	54, 59	elmapd 6756	. . 3 |- ( ph -> ( U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> U : D --> ( Base ` R ) ) )
61	49, 60	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> U e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
62		psrring.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
63		psr1cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
64	62, 2, 16, 63, 11, 1	psrbasg 14480	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
65	61, 64	eleqtrrd 2286	1 |- ( ph -> U e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   {crab 2489   _Vcvv 2773   ifcif 3572   {csn 3634   |-> cmpt 4109   X. cxp 4677   `'ccnv 4678   "cima 4682   Fn wfn 5271   -->wf 5272   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   ^m cmap 6742   Fincfn 6834   0cc0 7932   NNcn 9043   NN0cn0 9302   ZZcz 9379   Basecbs 12876   0gc0g 13132   1rcur 13765   Ringcrg 13802   mPwSer cmps 14467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-er 6627  df-map 6744  df-ixp 6793  df-en 6835  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-tset 12972  df-rest 13117  df-topn 13118  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-pt 13137  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-psr 14469

This theorem is referenced by: (None)