Theorem isnzr2 14133

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	|- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3	1, 2	isnzr 14130	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
5	4, 1	ringidcl 13969	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
7	4, 2	ring0cl 13970	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. B )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
10		df-ne 2401	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
11		neeq1 2413	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( -. x = y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
13		neeq2 2414	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( 1r ` R ) =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
14	12, 13	rspc2ev 2922	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 0g ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
17	4, 1, 2	ring1eq0 13997	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
18	17	3expb 1228	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
19	18	necon3bd 2443	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
20	19	rexlimdvva 2656	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> x e. B )
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> y e. B )
24		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> -. x = y )
25	22, 23, 24	enpr2d 6962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
27	26	ensymd 6925	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~~ { x , y } )
28		basfn 13077	. . . . . . . . . . . . 13 |- Base Fn _V
29		elex 2811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. _V )
30		funfvex 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	30	funfni 5419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) e. _V )
33	4, 32	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. _V )
34		ssdomg 6920	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. _V -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
36	22, 23	prssd 3826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } C_ B )
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~<_ B )
38		endomtr 6932	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o ~~ { x , y } /\ { x , y } ~<_ B ) -> 2o ~<_ B )
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~<_ B )
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> 2o ~<_ B )
41	40	rexlimdvaa 2649	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
42	41	rexlimdva 2648	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
43		2dom 6948	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ B -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y <-> 2o ~<_ B ) )
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 2o ~<_ B ) )
46	45	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )
47	3, 46	bitri 184	1 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4082   Fn wfn 5309   ` cfv 5314   2oc2o 6546   ~~ cen 6875   ~<_ cdom 6876   Basecbs 13018   0gc0g 13275   1rcur 13908   Ringcrg 13945  NzRingcnzr 14128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-mgp 13870  df-ur 13909  df-ring 13947  df-nzr 14129

This theorem is referenced by:  znidom  14606  znidomb  14607