Theorem isnzr2 14260

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	|- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3	1, 2	isnzr 14257	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
5	4, 1	ringidcl 14095	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
7	4, 2	ring0cl 14096	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. B )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
10		df-ne 2404	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
11		neeq1 2416	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( -. x = y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
13		neeq2 2417	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( 1r ` R ) =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
14	12, 13	rspc2ev 2926	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 0g ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
17	4, 1, 2	ring1eq0 14123	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
18	17	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
19	18	necon3bd 2446	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
20	19	rexlimdvva 2659	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> x e. B )
23		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> y e. B )
24		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> -. x = y )
25	22, 23, 24	enpr2d 7040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
27	26	ensymd 7000	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~~ { x , y } )
28		basfn 13202	. . . . . . . . . . . . 13 |- Base Fn _V
29		elex 2815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. _V )
30		funfvex 5665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	30	funfni 5439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) e. _V )
33	4, 32	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. _V )
34		ssdomg 6995	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. _V -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
36	22, 23	prssd 3837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } C_ B )
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~<_ B )
38		endomtr 7007	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o ~~ { x , y } /\ { x , y } ~<_ B ) -> 2o ~<_ B )
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~<_ B )
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> 2o ~<_ B )
41	40	rexlimdvaa 2652	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
42	41	rexlimdva 2651	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
43		2dom 7023	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ B -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y <-> 2o ~<_ B ) )
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 2o ~<_ B ) )
46	45	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )
47	3, 46	bitri 184	1 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   {cpr 3674   class class class wbr 4093   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   2oc2o 6619   ~~ cen 6950   ~<_ cdom 6951   Basecbs 13143   0gc0g 13400   1rcur 14034   Ringcrg 14071  NzRingcnzr 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-ring 14073  df-nzr 14256

This theorem is referenced by:  znidom  14733  znidomb  14734