Theorem isnzr2 14601

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	|- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3	1, 2	isnzr 14598	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
5	4, 1	ringidcl 14433	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
7	4, 2	ring0cl 14434	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. B )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
10		df-ne 2421	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
11		neeq1 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( -. x = y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
13		neeq2 2434	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( 1r ` R ) =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
14	12, 13	rspc2ev 2945	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 0g ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
17	4, 1, 2	ring1eq0 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
18	17	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
19	18	necon3bd 2463	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
20	19	rexlimdvva 2676	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> x e. B )
23		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> y e. B )
24		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> -. x = y )
25	22, 23, 24	enpr2d 7116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
27	26	ensymd 7075	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~~ { x , y } )
28		basfn 13470	. . . . . . . . . . . . 13 |- Base Fn _V
29		elex 2833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. _V )
30		funfvex 5715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	30	funfni 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	28, 29, 31	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) e. _V )
33	4, 32	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. _V )
34		ssdomg 7070	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. _V -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
36	22, 23	prssd 3874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } C_ B )
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~<_ B )
38		endomtr 7082	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o ~~ { x , y } /\ { x , y } ~<_ B ) -> 2o ~<_ B )
39	27, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~<_ B )
40	39	anassrs 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> 2o ~<_ B )
41	40	rexlimdvaa 2669	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
42	41	rexlimdva 2668	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
43		2dom 7098	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ B -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y <-> 2o ~<_ B ) )
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 2o ~<_ B ) )
46	45	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )
47	3, 46	bitri 184	1 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   class class class wbr 4131   Fn wfn 5375   ` cfv 5380   2oc2o 6685   ~~ cen 7025   ~<_ cdom 7026   Basecbs 13411   0gc0g 13670   1rcur 14370   Ringcrg 14408  NzRingcnzr 14596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-nzr 14597

This theorem is used by:  znidom  15102  znidomb  15103