Theorem isnzr2 14474

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	|- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
2		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3	1, 2	isnzr 14471	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
5	4, 1	ringidcl 14308	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. B )
7	4, 2	ring0cl 14309	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. B )
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. B )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
10		df-ne 2421	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
11		neeq1 2433	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( -. x = y <-> ( 1r ` R ) =/= y ) )
13		neeq2 2434	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` R ) -> ( ( 1r ` R ) =/= y <-> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
14	12, 13	rspc2ev 2945	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 0g ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) -> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
17	4, 1, 2	ring1eq0 14336	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
18	17	3expb 1235	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
19	18	necon3bd 2463	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
20	19	rexlimdvva 2676	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> E. x e. B E. y e. B -. x = y ) )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> x e. B )
23		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> y e. B )
24		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> -. x = y )
25	22, 23, 24	enpr2d 7105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~~ 2o )
27	26	ensymd 7064	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~~ { x , y } )
28		basfn 13394	. . . . . . . . . . . . 13 |- Base Fn _V
29		elex 2833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. _V )
30		funfvex 5710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
31	30	funfni 5481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
32	28, 29, 31	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) e. _V )
33	4, 32	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> B e. _V )
34		ssdomg 7059	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. _V -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( { x , y } C_ B -> { x , y } ~<_ B ) )
36	22, 23	prssd 3872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> { x , y } C_ B )
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> { x , y } ~<_ B )
38		endomtr 7071	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2o ~~ { x , y } /\ { x , y } ~<_ B ) -> 2o ~<_ B )
39	27, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) ) -> 2o ~<_ B )
40	39	anassrs 404	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ -. x = y ) ) -> 2o ~<_ B )
41	40	rexlimdvaa 2669	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
42	41	rexlimdva 2668	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y -> 2o ~<_ B ) )
43		2dom 7087	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ B -> E. x e. B E. y e. B -. x = y )
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( E. x e. B E. y e. B -. x = y <-> 2o ~<_ B ) )
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> 2o ~<_ B ) )
46	45	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )
47	3, 46	bitri 184	1 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ 2o ~<_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3709   class class class wbr 4128   Fn wfn 5370   ` cfv 5375   2oc2o 6675   ~~ cen 7014   ~<_ cdom 7015   Basecbs 13335   0gc0g 13593   1rcur 14245   Ringcrg 14283  NzRingcnzr 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-nzr 14470

This theorem is referenced by:  znidom  14975  znidomb  14976