ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isnzr2 Unicode version

Theorem isnzr2 13680
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
isnzr2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2 eqid 2193 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
31, 2isnzr 13677 . 2  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) ) )
4 isnzr2.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
54, 1ringidcl 13516 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
65adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
74, 2ring0cl 13517 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
87adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B )
9 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
10 df-ne 2365 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
11 neeq1 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y
) )
1210, 11bitr3id 194 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  ( -.  x  =  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  y ) )
13 neeq2 2378 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( 0g `  R )  ->  (
( 1r `  R
)  =/=  y  <->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
1412, 13rspc2ev 2879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 0g `  R )  e.  B  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
156, 8, 9, 14syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
1615ex 115 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
174, 1, 2ring1eq0 13544 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  ->  x  =  y )
)
18173expb 1206 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R
)  ->  x  =  y ) )
1918necon3bd 2407 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2019rexlimdvva 2619 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) ) )
2116, 20impbid 129 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y ) )
22 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  x  e.  B )
23 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  y  e.  B )
24 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  -.  x  =  y )
2522, 23, 24enpr2d 6871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  { x ,  y }  ~~  2o )
2625adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  2o )
2726ensymd 6837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) ) )  ->  2o  ~~  { x ,  y } )
28 basfn 12676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Base  Fn  _V
29 elex 2771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
30 funfvex 5571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  Base  /\  R  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
3130funfni 5354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  R )  e. 
_V )
3228, 29, 31sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  e.  _V )
334, 32eqeltrid 2280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e. 
_V )
34 ssdomg 6832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  B  ->  { x ,  y }  ~<_  B ) )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( { x ,  y } 
C_  B  ->  { x ,  y }  ~<_  B ) )
3622, 23prssd 3777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  { x ,  y }  C_  B )
3735, 36impel 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  B )
38 endomtr 6844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  ~~  { x ,  y }  /\  { x ,  y }  ~<_  B )  ->  2o  ~<_  B )
3927, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) ) )  ->  2o 
~<_  B )
4039anassrs 400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  -.  x  =  y ) )  ->  2o  ~<_  B )
4140rexlimdvaa 2612 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  ->  ( E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  2o  ~<_  B ) )
4241rexlimdva 2611 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  ->  2o  ~<_  B ) )
43 2dom 6859 . . . . 5  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y )
4442, 43impbid1 142 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  -.  x  =  y  <->  2o  ~<_  B ) )
4521, 44bitrd 188 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R )  <->  2o  ~<_  B ) )
4645pm5.32i 454 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  <->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
473, 46bitri 184 1  |-  ( R  e. NzRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  2o  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2164    =/= wne 2364   E.wrex 2473   _Vcvv 2760    C_ wss 3153   {cpr 3619   class class class wbr 4029    Fn wfn 5249   ` cfv 5254   2oc2o 6463    ~~ cen 6792    ~<_ cdom 6793   Basecbs 12618   0gc0g 12867   1rcur 13455   Ringcrg 13492  NzRingcnzr 13675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-nzr 13676
This theorem is referenced by:  znidom  14145  znidomb  14146
  Copyright terms: Public domain W3C validator