Theorem ring0cl 14432

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 14411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 13892	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  Basecbs 13409  0_gc0g 13668  Grpcgrp 13863  Ringcrg 14406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-0g 13670  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-ring 14408

This theorem is used by:  dvdsr01  14519  dvdsr02  14520  isnzr2  14599  ringelnzr  14602  01eq0ring  14604  rrgsupp  14682  aprunit  14700  lmod0cl  14759  lmod0vs  14766  lmodvs0  14767  psr1clfi  15207  psrlidmfi  15208  psrridmfi  15209  mvrffi  15218