ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ring0cl GIF version

Theorem ring0cl 13258
Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ring0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ring0cl (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)

Proof of Theorem ring0cl
StepHypRef Expression
1 ringgrp 13238 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 ring0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 ring0cl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 12923 . 2 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
51, 4syl 14 1 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2158  cfv 5228  Basecbs 12475  0gc0g 12722  Grpcgrp 12896  Ringcrg 13233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-ring 13235
This theorem is referenced by:  dvdsr01  13335  dvdsr02  13336  ringelnzr  13390  01eq0ring  13392  lmod0cl  13466  lmod0vs  13473  lmodvs0  13474
  Copyright terms: Public domain W3C validator