Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efgt1p2 Unicode version

Theorem efgt1p2 11300
 Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p2

Proof of Theorem efgt1p2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 8944 . . . . . . 7
2 nn0uz 9309 . . . . . . 7
31, 2eleqtri 2190 . . . . . 6
43a1i 9 . . . . 5
5 elnn0uz 9312 . . . . . . . . 9
65biimpri 132 . . . . . . . 8
76adantl 273 . . . . . . 7
8 simpl 108 . . . . . . . . 9
9 eluzelz 9284 . . . . . . . . . 10
109adantl 273 . . . . . . . . 9
118, 10rpexpcld 10388 . . . . . . . 8
127faccld 10422 . . . . . . . . 9
1312nnrpd 9428 . . . . . . . 8
1411, 13rpdivcld 9447 . . . . . . 7
15 oveq2 5748 . . . . . . . . 9
16 fveq2 5387 . . . . . . . . 9
1715, 16oveq12d 5758 . . . . . . . 8
18 eqid 2115 . . . . . . . 8
1917, 18fvmptg 5463 . . . . . . 7
207, 14, 19syl2anc 406 . . . . . 6
2120, 14eqeltrd 2192 . . . . 5
22 rpaddcl 9413 . . . . . 6
2322adantl 273 . . . . 5
244, 21, 23seq3p1 10175 . . . 4
25 df-2 8736 . . . . 5
2625fveq2i 5390 . . . 4
2725fveq2i 5390 . . . . 5
2827oveq2i 5751 . . . 4
2924, 26, 283eqtr4g 2173 . . 3
30 0nn0 8943 . . . . . . . . 9
3130, 2eleqtri 2190 . . . . . . . 8
3231a1i 9 . . . . . . 7
3332, 21, 23seq3p1 10175 . . . . . 6
34 1e0p1 9174 . . . . . . 7
3534fveq2i 5390 . . . . . 6
3634fveq2i 5390 . . . . . . 7
3736oveq2i 5751 . . . . . 6
3833, 35, 373eqtr4g 2173 . . . . 5
39 0zd 9017 . . . . . . . 8
4039, 21, 23seq3-1 10173 . . . . . . 7
41 rpcn 9398 . . . . . . . . 9
4218eftvalcn 11262 . . . . . . . . . 10
4330, 42mpan2 419 . . . . . . . . 9
4441, 43syl 14 . . . . . . . 8
45 eft0val 11298 . . . . . . . . 9
4641, 45syl 14 . . . . . . . 8
4744, 46eqtrd 2148 . . . . . . 7
4840, 47eqtrd 2148 . . . . . 6
4918eftvalcn 11262 . . . . . . . . 9
501, 49mpan2 419 . . . . . . . 8
51 fac1 10415 . . . . . . . . . 10
5251oveq2i 5751 . . . . . . . . 9
53 exp1 10239 . . . . . . . . . . 11
5453oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10
55 div1 8423 . . . . . . . . . 10
5654, 55eqtrd 2148 . . . . . . . . 9
5752, 56syl5eq 2160 . . . . . . . 8
5850, 57eqtrd 2148 . . . . . . 7
5941, 58syl 14 . . . . . 6
6048, 59oveq12d 5758 . . . . 5
6138, 60eqtrd 2148 . . . 4
62 2nn0 8945 . . . . . . 7
6318eftvalcn 11262 . . . . . . 7
6462, 63mpan2 419 . . . . . 6
65 fac2 10417 . . . . . . 7
6665oveq2i 5751 . . . . . 6
6764, 66syl6eq 2164 . . . . 5
6841, 67syl 14 . . . 4
6961, 68oveq12d 5758 . . 3
7029, 69eqtrd 2148 . 2
71 id 19 . . 3
7262a1i 9 . . 3
7318, 71, 72effsumlt 11297 . 2
7470, 73eqbrtrrd 3920 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1314   wcel 1463   class class class wbr 3897   cmpt 3957  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cc0 7584  c1 7585   caddc 7587   clt 7764   cdiv 8392  c2 8728  cn0 8928  cz 9005  cuz 9275  crp 9390   cseq 10158  cexp 10232  cfa 10411  ce 11247 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-ico 9617  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063  df-ef 11253 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator