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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > efgt1p2 | Unicode version |
Description: The exponential of a positive real number is greater than the sum of the first three terms of the series expansion. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
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efgt1p2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 1nn0 9222 |
. . . . . . 7
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2 | nn0uz 9592 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | eleqtri 2264 |
. . . . . 6
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4 | 3 | a1i 9 |
. . . . 5
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5 | elnn0uz 9595 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | biimpri 133 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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8 | simpl 109 |
. . . . . . . . 9
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9 | eluzelz 9567 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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11 | 8, 10 | rpexpcld 10709 |
. . . . . . . 8
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12 | 7 | faccld 10748 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | nnrpd 9724 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 13 | rpdivcld 9744 |
. . . . . . 7
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15 | oveq2 5904 |
. . . . . . . . 9
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16 | fveq2 5534 |
. . . . . . . . 9
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17 | 15, 16 | oveq12d 5914 |
. . . . . . . 8
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18 | eqid 2189 |
. . . . . . . 8
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19 | 17, 18 | fvmptg 5613 |
. . . . . . 7
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20 | 7, 14, 19 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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21 | 20, 14 | eqeltrd 2266 |
. . . . 5
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22 | rpaddcl 9707 |
. . . . . 6
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23 | 22 | adantl 277 |
. . . . 5
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24 | 4, 21, 23 | seq3p1 10493 |
. . . 4
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25 | df-2 9008 |
. . . . 5
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26 | 25 | fveq2i 5537 |
. . . 4
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27 | 25 | fveq2i 5537 |
. . . . 5
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28 | 27 | oveq2i 5907 |
. . . 4
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29 | 24, 26, 28 | 3eqtr4g 2247 |
. . 3
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30 | 0nn0 9221 |
. . . . . . . . 9
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31 | 30, 2 | eleqtri 2264 |
. . . . . . . 8
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32 | 31 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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33 | 32, 21, 23 | seq3p1 10493 |
. . . . . 6
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34 | 1e0p1 9455 |
. . . . . . 7
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35 | 34 | fveq2i 5537 |
. . . . . 6
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36 | 34 | fveq2i 5537 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | oveq2i 5907 |
. . . . . 6
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38 | 33, 35, 37 | 3eqtr4g 2247 |
. . . . 5
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39 | 0zd 9295 |
. . . . . . . 8
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40 | 39, 21, 23 | seq3-1 10491 |
. . . . . . 7
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41 | rpcn 9692 |
. . . . . . . . 9
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42 | 18 | eftvalcn 11697 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 30, 42 | mpan2 425 |
. . . . . . . . 9
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44 | 41, 43 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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45 | eft0val 11733 |
. . . . . . . . 9
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46 | 41, 45 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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47 | 44, 46 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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48 | 40, 47 | eqtrd 2222 |
. . . . . 6
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49 | 18 | eftvalcn 11697 |
. . . . . . . . 9
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50 | 1, 49 | mpan2 425 |
. . . . . . . 8
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51 | fac1 10741 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 51 | oveq2i 5907 |
. . . . . . . . 9
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53 | exp1 10557 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | oveq1d 5911 |
. . . . . . . . . 10
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55 | div1 8690 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 54, 55 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . . 9
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57 | 52, 56 | eqtrid 2234 |
. . . . . . . 8
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58 | 50, 57 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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59 | 41, 58 | syl 14 |
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60 | 48, 59 | oveq12d 5914 |
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61 | 38, 60 | eqtrd 2222 |
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62 | 2nn0 9223 |
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63 | 18 | eftvalcn 11697 |
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64 | 62, 63 | mpan2 425 |
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65 | fac2 10743 |
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66 | 65 | oveq2i 5907 |
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67 | 64, 66 | eqtrdi 2238 |
. . . . 5
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68 | 41, 67 | syl 14 |
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69 | 61, 68 | oveq12d 5914 |
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70 | 29, 69 | eqtrd 2222 |
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71 | id 19 |
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72 | 62 | a1i 9 |
. . 3
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73 | 18, 71, 72 | effsumlt 11732 |
. 2
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74 | 70, 73 | eqbrtrrd 4042 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-1re 7935 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-mulrcl 7940 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-0lt1 7947 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-precex 7951 ax-cnre 7952 ax-pre-ltirr 7953 ax-pre-ltwlin 7954 ax-pre-lttrn 7955 ax-pre-apti 7956 ax-pre-ltadd 7957 ax-pre-mulgt0 7958 ax-pre-mulext 7959 ax-arch 7960 ax-caucvg 7961 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-recs 6330 df-irdg 6395 df-frec 6416 df-1o 6441 df-oadd 6445 df-er 6559 df-en 6767 df-dom 6768 df-fin 6769 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-ltxr 8027 df-le 8028 df-sub 8160 df-neg 8161 df-reap 8562 df-ap 8569 df-div 8660 df-inn 8950 df-2 9008 df-3 9009 df-4 9010 df-n0 9207 df-z 9284 df-uz 9559 df-q 9650 df-rp 9684 df-ico 9924 df-fz 10039 df-fzo 10173 df-seqfrec 10477 df-exp 10551 df-fac 10738 df-ihash 10788 df-cj 10883 df-re 10884 df-im 10885 df-rsqrt 11039 df-abs 11040 df-clim 11319 df-sumdc 11394 df-ef 11688 |
This theorem is referenced by: (None) |
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