Theorem sbthomlem 16352

Description: Lemma for sbthom 16353. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	|- ( ph -> om e. Omni )
sbthomlem.y	|- ( ph -> Y C_ { (/) } )
sbthomlem.f	|- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	|- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 |- ( ph -> om e. Omni )
2		sbthomlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )
3		f1ofo 5578	. . . . 5 |- ( F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
5	1, 4	fodjuomni 7312	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y \/ Y = (/) ) )
6	5	orcomd 734	. 2 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) )
7		sbthomlem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ { (/) } )
8		sssnm 3831	. . . 4 |- ( E. z z e. Y -> ( Y C_ { (/) } <-> Y = { (/) } ) )
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y -> Y = { (/) } ) )
10	9	orim2d 793	. 2 |- ( ph -> ( ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   omcom 4681   -onto->wfo 5315   -1-1-onto->wf1o 5316   ⊔ cdju 7200  Omnicomni 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-omni 7298

This theorem is referenced by:  sbthom  16353