Theorem sbthomlem 16629

Description: Lemma for sbthom 16630. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	|- ( ph -> om e. Omni )
sbthomlem.y	|- ( ph -> Y C_ { (/) } )
sbthomlem.f	|- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	|- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 |- ( ph -> om e. Omni )
2		sbthomlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )
3		f1ofo 5590	. . . . 5 |- ( F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
5	1, 4	fodjuomni 7347	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y \/ Y = (/) ) )
6	5	orcomd 736	. 2 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) )
7		sbthomlem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ { (/) } )
8		sssnm 3837	. . . 4 |- ( E. z z e. Y -> ( Y C_ { (/) } <-> Y = { (/) } ) )
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y -> Y = { (/) } ) )
10	9	orim2d 795	. 2 |- ( ph -> ( ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   omcom 4688   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ⊔ cdju 7235  Omnicomni 7332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-map 6818  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-omni 7333

This theorem is referenced by:  sbthom  16630