Theorem sbthomlem 14858

Description: Lemma for sbthom 14859. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	|- ( ph -> om e. Omni )
sbthomlem.y	|- ( ph -> Y C_ { (/) } )
sbthomlem.f	|- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	|- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 |- ( ph -> om e. Omni )
2		sbthomlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )
3		f1ofo 5470	. . . . 5 |- ( F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
5	1, 4	fodjuomni 7149	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y \/ Y = (/) ) )
6	5	orcomd 729	. 2 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) )
7		sbthomlem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ { (/) } )
8		sssnm 3756	. . . 4 |- ( E. z z e. Y -> ( Y C_ { (/) } <-> Y = { (/) } ) )
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y -> Y = { (/) } ) )
10	9	orim2d 788	. 2 |- ( ph -> ( ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   C_ wss 3131   (/)c0 3424   {csn 3594   omcom 4591   -onto->wfo 5216   -1-1-onto->wf1o 5217   ⊔ cdju 7038  Omnicomni 7134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-1o 6419  df-2o 6420  df-map 6652  df-dju 7039  df-inl 7048  df-inr 7049  df-omni 7135

This theorem is referenced by:  sbthom  14859