Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sbthomlem Unicode version

Theorem sbthomlem 14655
Description: Lemma for sbthom 14656. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthomlem.lpo  |-  ( ph  ->  om  e. Omni )
sbthomlem.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  { (/) } )
sbthomlem.f  |-  ( ph  ->  F : om -1-1-onto-> ( Y om )
)
Assertion
Ref Expression
sbthomlem  |-  ( ph  ->  ( Y  =  (/)  \/  Y  =  { (/) } ) )

Proof of Theorem sbthomlem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthomlem.lpo . . . 4  |-  ( ph  ->  om  e. Omni )
2 sbthomlem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : om -1-1-onto-> ( Y om )
)
3 f1ofo 5468 . . . . 5  |-  ( F : om -1-1-onto-> ( Y om )  ->  F : om -onto-> ( Y om ) )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> ( Y om ) )
51, 4fodjuomni 7146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  z  e.  Y  \/  Y  =  (/) ) )
65orcomd 729 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  =  (/)  \/ 
E. z  z  e.  Y ) )
7 sbthomlem.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  { (/) } )
8 sssnm 3754 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  Y  ->  ( Y  C_  { (/) }  <-> 
Y  =  { (/) } ) )
97, 8syl5ibcom 155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  z  e.  Y  ->  Y  =  { (/) } ) )
109orim2d 788 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  =  (/)  \/  E. z  z  e.  Y )  -> 
( Y  =  (/)  \/  Y  =  { (/) } ) ) )
116, 10mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( Y  =  (/)  \/  Y  =  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 708    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   omcom 4589   -onto->wfo 5214   -1-1-onto->wf1o 5215   ⊔ cdju 7035  Omnicomni 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-omni 7132
This theorem is referenced by:  sbthom  14656
  Copyright terms: Public domain W3C validator