Theorem sbthomlem 14057

Description: Lemma for sbthom 14058. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	|- ( ph -> om e. Omni )
sbthomlem.y	|- ( ph -> Y C_ { (/) } )
sbthomlem.f	|- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	|- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 |- ( ph -> om e. Omni )
2		sbthomlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) )
3		f1ofo 5449	. . . . 5 |- ( F : om -1-1-onto-> ( Y ⊔ om ) -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> F : om -onto-> ( Y ⊔ om ) )
5	1, 4	fodjuomni 7125	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y \/ Y = (/) ) )
6	5	orcomd 724	. 2 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) )
7		sbthomlem.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ { (/) } )
8		sssnm 3741	. . . 4 |- ( E. z z e. Y -> ( Y C_ { (/) } <-> Y = { (/) } ) )
9	7, 8	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. Y -> Y = { (/) } ) )
10	9	orim2d 783	. 2 |- ( ph -> ( ( Y = (/) \/ E. z z e. Y ) -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ph -> ( Y = (/) \/ Y = { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   omcom 4574   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ⊔ cdju 7014  Omnicomni 7110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-omni 7111

This theorem is referenced by:  sbthom  14058