Theorem shftlem 11559

Description: Two ways to write a shifted set ( B + A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	|- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2537	. 2 |- { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) }
2		npcan 8525	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
4	3	eqcomd 2244	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x = ( ( x - A ) + A ) )
5		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - A ) -> ( y + A ) = ( ( x - A ) + A ) )
6	5	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - A ) -> ( x = ( y + A ) <-> x = ( ( x - A ) + A ) ) )
7	6	rspcev 2929	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - A ) e. B /\ x = ( ( x - A ) + A ) ) -> E. y e. B x = ( y + A ) )
8	7	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( x - A ) + A ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
10	9	expimpd 363	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
12		ssel2 3243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ CC /\ y e. B ) -> y e. CC )
13		addcl 8294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
15		pncan 8522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
16	12, 15	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
17		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> y e. B )
18	16, 17	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) e. B )
19	14, 18	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( B C_ CC /\ y e. B ) ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
21	20	anassrs 404	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
22		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC <-> ( y + A ) e. CC ) )
23		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + A ) -> ( x - A ) = ( ( y + A ) - A ) )
24	23	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x - A ) e. B <-> ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
25	22, 24	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
27	26	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( E. y e. B x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
28	11, 27	impbid 129	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
29	28	abbidv 2358	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )
30	1, 29	eqtrid 2283	1 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   - cmin 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489

This theorem is referenced by: (None)