Theorem shftlem 10960

Description: Two ways to write a shifted set ( B + A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	|- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2481	. 2 |- { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) }
2		npcan 8228	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
4	3	eqcomd 2199	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x = ( ( x - A ) + A ) )
5		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - A ) -> ( y + A ) = ( ( x - A ) + A ) )
6	5	eqeq2d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - A ) -> ( x = ( y + A ) <-> x = ( ( x - A ) + A ) ) )
7	6	rspcev 2864	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - A ) e. B /\ x = ( ( x - A ) + A ) ) -> E. y e. B x = ( y + A ) )
8	7	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( x - A ) + A ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
10	9	expimpd 363	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
12		ssel2 3174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ CC /\ y e. B ) -> y e. CC )
13		addcl 7997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
15		pncan 8225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
16	12, 15	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
17		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> y e. B )
18	16, 17	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) e. B )
19	14, 18	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( B C_ CC /\ y e. B ) ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
21	20	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
22		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC <-> ( y + A ) e. CC ) )
23		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + A ) -> ( x - A ) = ( ( y + A ) - A ) )
24	23	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x - A ) e. B <-> ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
27	26	rexlimdva 2611	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( E. y e. B x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
28	11, 27	impbid 129	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
29	28	abbidv 2311	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )
30	1, 29	eqtrid 2238	1 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   {crab 2476   C_ wss 3153  (class class class)co 5918   CCcc 7870   + caddc 7875   - cmin 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192

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