Theorem shftlem 10304

Description: Two ways to write a shifted set ( B + A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	|- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2369	. 2 |- { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) }
2		npcan 7745	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
3	2	ancoms 265	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
4	3	eqcomd 2094	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x = ( ( x - A ) + A ) )
5		oveq1 5673	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - A ) -> ( y + A ) = ( ( x - A ) + A ) )
6	5	eqeq2d 2100	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - A ) -> ( x = ( y + A ) <-> x = ( ( x - A ) + A ) ) )
7	6	rspcev 2723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - A ) e. B /\ x = ( ( x - A ) + A ) ) -> E. y e. B x = ( y + A ) )
8	7	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( x - A ) + A ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
10	9	expimpd 356	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
11	10	adantr 271	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
12		ssel2 3021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ CC /\ y e. B ) -> y e. CC )
13		addcl 7521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
14	12, 13	sylan 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
15		pncan 7742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
16	12, 15	sylan 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
17		simplr 498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> y e. B )
18	16, 17	eqeltrd 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) e. B )
19	14, 18	jca 301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
20	19	ancoms 265	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( B C_ CC /\ y e. B ) ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
21	20	anassrs 393	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
22		eleq1 2151	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC <-> ( y + A ) e. CC ) )
23		oveq1 5673	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + A ) -> ( x - A ) = ( ( y + A ) - A ) )
24	23	eleq1d 2157	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x - A ) e. B <-> ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
25	22, 24	anbi12d 458	. . . . . 6 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
27	26	rexlimdva 2490	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( E. y e. B x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
28	11, 27	impbid 128	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
29	28	abbidv 2206	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )
30	1, 29	syl5eq 2133	1 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   {cab 2075   E.wrex 2361   {crab 2364   C_ wss 3000  (class class class)co 5666   CCcc 7402   + caddc 7407   - cmin 7707

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709

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