Theorem shftlem 11501

Description: Two ways to write a shifted set ( B + A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	|- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2529	. 2 |- { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) }
2		npcan 8482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
4	3	eqcomd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x = ( ( x - A ) + A ) )
5		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - A ) -> ( y + A ) = ( ( x - A ) + A ) )
6	5	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - A ) -> ( x = ( y + A ) <-> x = ( ( x - A ) + A ) ) )
7	6	rspcev 2921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - A ) e. B /\ x = ( ( x - A ) + A ) ) -> E. y e. B x = ( y + A ) )
8	7	expcom 116	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( x - A ) + A ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
10	9	expimpd 363	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
12		ssel2 3233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ CC /\ y e. B ) -> y e. CC )
13		addcl 8252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
15		pncan 8479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
16	12, 15	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
17		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> y e. B )
18	16, 17	eqeltrd 2309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) e. B )
19	14, 18	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( B C_ CC /\ y e. B ) ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
21	20	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
22		eleq1 2295	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC <-> ( y + A ) e. CC ) )
23		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + A ) -> ( x - A ) = ( ( y + A ) - A ) )
24	23	eleq1d 2301	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x - A ) e. B <-> ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
27	26	rexlimdva 2660	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( E. y e. B x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
28	11, 27	impbid 129	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
29	28	abbidv 2352	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )
30	1, 29	eqtrid 2277	1 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211  (class class class)co 6050   CCcc 8125   + caddc 8130   - cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446

This theorem is referenced by: (None)