ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftlem GIF version

Theorem shftlem 10780
Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 2457 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)}
2 npcan 8128 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
32ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
43eqcomd 2176 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
5 oveq1 5860 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
65eqeq2d 2182 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)))
76rspcev 2834 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴) ∈ 𝐵𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
87expcom 115 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
94, 8syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
109expimpd 361 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
1110adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
12 ssel2 3142 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 addcl 7899 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
15 pncan 8125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
1612, 15sylan 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
17 simplr 525 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦𝐵)
1816, 17eqeltrd 2247 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
1914, 18jca 304 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2019ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2120anassrs 398 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
22 eleq1 2233 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
23 oveq1 5860 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
2423eleq1d 2239 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2522, 24anbi12d 470 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
2621, 25syl5ibrcom 156 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2726rexlimdva 2587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2811, 27impbid 128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
2928abbidv 2288 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
301, 29eqtrid 2215 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  {cab 2156  wrex 2449  {crab 2452  wss 3121  (class class class)co 5853  cc 7772   + caddc 7777  cmin 8090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator