Theorem shftlem 11497

Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2529	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)}
2		npcan 8481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
5		oveq1 6056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
6	5	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)))
7	6	rspcev 2920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
8	7	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
10	9	expimpd 363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
12		ssel2 3232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addcl 8251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
15		pncan 8478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16	12, 15	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
17		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	eqeltrd 2309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
19	14, 18	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21	20	anassrs 400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
22		eleq1 2295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
23		oveq1 6056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
24	23	eleq1d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
26	21, 25	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
27	26	rexlimdva 2660	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
28	11, 27	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
29	28	abbidv 2352	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
30	1, 29	eqtrid 2277	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218  ∃wrex 2521  {crab 2524   ⊆ wss 3210  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   + caddc 8129   − cmin 8443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445

This theorem is referenced by: (None)