Theorem shftlem 10825

Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2464	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)}
2		npcan 8166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
3	2	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
4	3	eqcomd 2183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
5		oveq1 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴))
6	5	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) ↔ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)))
7	6	rspcev 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
8	7	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 − 𝐴) + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
10	9	expimpd 363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
12		ssel2 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		addcl 7936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
15		pncan 8163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
16	12, 15	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
17		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18	16, 17	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
19	14, 18	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
20	19	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
21	20	anassrs 400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
22		eleq1 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
23		oveq1 5882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
24	23	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
25	22, 24	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
26	21, 25	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
27	26	rexlimdva 2594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)))
28	11, 27	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
29	28	abbidv 2295	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
30	1, 29	eqtrid 2222	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3130  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   + caddc 7814   − cmin 8128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130

This theorem is referenced by: (None)