ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftlem GIF version

Theorem shftlem 10543
Description: Two ways to write a shifted set (𝐵 + 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 2402 . 2 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)}
2 npcan 7939 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
32ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) + 𝐴) = 𝑥)
43eqcomd 2123 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
5 oveq1 5749 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑦 + 𝐴) = ((𝑥𝐴) + 𝐴))
65eqeq2d 2129 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)))
76rspcev 2763 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴) ∈ 𝐵𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴)) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴))
87expcom 115 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑥𝐴) + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
94, 8syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
109expimpd 360 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
1110adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
12 ssel2 3062 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
13 addcl 7713 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ)
15 pncan 7936 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
1612, 15sylan 281 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) = 𝑦)
17 simplr 504 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑦𝐵)
1816, 17eqeltrd 2194 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)
1914, 18jca 304 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2019ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ⊆ ℂ ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2120anassrs 397 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
22 eleq1 2180 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ))
23 oveq1 5749 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥𝐴) = ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴))
2423eleq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵))
2522, 24anbi12d 464 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((𝑦 + 𝐴) − 𝐴) ∈ 𝐵)))
2621, 25syl5ibrcom 156 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2726rexlimdva 2526 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)))
2811, 27impbid 128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)))
2928abbidv 2235 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
301, 29syl5eq 2162 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ 𝐵} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝐴)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  {cab 2103  wrex 2394  {crab 2397  wss 3041  (class class class)co 5742  cc 7586   + caddc 7591  cmin 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator