Theorem shftval4g 11547

Description: Value of a sequence shifted by -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6065	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift -u A ) = ( F shift -u A ) )
2	1	fveq1d 5677	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift -u A ) ` B ) )
3		fveq1 5674	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` ( A + B ) ) = ( F ` ( A + B ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) <-> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( f = F -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) ) )
6		vex 2818	. . . 4 |- f e. _V
7	6	shftval4 11538	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) )
8	5, 7	vtoclg 2877	. 2 |- ( F e. V -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
9	8	3impib 1228	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   + caddc 8146   -ucneg 8461   shift cshi 11524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463  df-shft 11525

This theorem is referenced by:  climshft2  12016