ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4g Unicode version

Theorem shftval4g 10788
Description: Value of a sequence shifted by  -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftval4g  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem shftval4g
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5857 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  -u A )  =  ( F  shift  -u A
) )
21fveq1d 5496 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( ( F 
shift  -u A ) `  B ) )
3 fveq1 5493 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( A  +  B ) )  =  ( F `  ( A  +  B )
) )
42, 3eqeq12d 2185 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) )  <->  ( ( F  shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( f `  ( A  +  B
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) ) ) )
6 vex 2733 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76shftval4 10779 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) ) )
85, 7vtoclg 2790 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
983impib 1196 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   CCcc 7759    + caddc 7764   -ucneg 8078    shift cshi 10765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-sub 8079  df-neg 8080  df-shft 10766
This theorem is referenced by:  climshft2  11256
  Copyright terms: Public domain W3C validator