Theorem shftval4g 10838

Description: Value of a sequence shifted by -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5878	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift -u A ) = ( F shift -u A ) )
2	1	fveq1d 5515	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift -u A ) ` B ) )
3		fveq1 5512	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` ( A + B ) ) = ( F ` ( A + B ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) <-> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( f = F -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) ) )
6		vex 2740	. . . 4 |- f e. _V
7	6	shftval4 10829	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) )
8	5, 7	vtoclg 2797	. 2 |- ( F e. V -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
9	8	3impib 1201	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   CCcc 7805   + caddc 7810   -ucneg 8124   shift cshi 10815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-sub 8125  df-neg 8126  df-shft 10816

This theorem is referenced by:  climshft2  11306