Theorem shftval4g 10641

Description: Value of a sequence shifted by -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5789	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift -u A ) = ( F shift -u A ) )
2	1	fveq1d 5431	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift -u A ) ` B ) )
3		fveq1 5428	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` ( A + B ) ) = ( F ` ( A + B ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2155	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) <-> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . 3 |- ( f = F -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) ) )
6		vex 2692	. . . 4 |- f e. _V
7	6	shftval4 10632	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) )
8	5, 7	vtoclg 2749	. 2 |- ( F e. V -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
9	8	3impib 1180	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   + caddc 7647   -ucneg 7958   shift cshi 10618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960  df-shft 10619

This theorem is referenced by:  climshft2  11107