ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4g Unicode version

Theorem shftval4g 10577
Description: Value of a sequence shifted by  -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftval4g  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem shftval4g
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5749 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  -u A )  =  ( F  shift  -u A
) )
21fveq1d 5391 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( ( F 
shift  -u A ) `  B ) )
3 fveq1 5388 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( A  +  B ) )  =  ( F `  ( A  +  B )
) )
42, 3eqeq12d 2132 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) )  <->  ( ( F  shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( f `  ( A  +  B
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) ) ) )
6 vex 2663 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76shftval4 10568 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) ) )
85, 7vtoclg 2720 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
983impib 1164 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586    + caddc 7591   -ucneg 7902    shift cshi 10554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-neg 7904  df-shft 10555
This theorem is referenced by:  climshft2  11043
  Copyright terms: Public domain W3C validator