ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4g Unicode version

Theorem shftval4g 10402
Description: Value of a sequence shifted by  -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
shftval4g  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem shftval4g
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5697 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  shift  -u A )  =  ( F  shift  -u A
) )
21fveq1d 5342 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( ( F 
shift  -u A ) `  B ) )
3 fveq1 5339 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( A  +  B ) )  =  ( F `  ( A  +  B )
) )
42, 3eqeq12d 2109 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) )  <->  ( ( F  shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( f  shift  -u A
) `  B )  =  ( f `  ( A  +  B
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) ) ) )
6 vex 2636 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76shftval4 10393 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( f  shift  -u A ) `  B
)  =  ( f `
 ( A  +  B ) ) )
85, 7vtoclg 2693 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F 
shift  -u A ) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B ) ) ) )
983impib 1144 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( F  shift  -u A
) `  B )  =  ( F `  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   CCcc 7445    + caddc 7450   -ucneg 7751    shift cshi 10379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-sub 7752  df-neg 7753  df-shft 10380
This theorem is referenced by:  climshft2  10865
  Copyright terms: Public domain W3C validator