ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval4 GIF version

Theorem shftval4 10441
Description: Value of a sequence shifted by -𝐴. (Contributed by NM, 18-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem shftval4
StepHypRef Expression
1 negcl 7833 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
32shftval 10438 . . 3 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − -𝐴)))
41, 3sylan 279 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵 − -𝐴)))
5 subneg 7882 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − -𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
65ancoms 266 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − -𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
7 addcom 7770 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
86, 7eqtr4d 2135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 − -𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
98fveq2d 5357 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵 − -𝐴)) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
104, 9eqtrd 2132 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift -𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1299  wcel 1448  Vcvv 2641  cfv 5059  (class class class)co 5706  cc 7498   + caddc 7503  cmin 7804  -cneg 7805   shift cshi 10427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-neg 7807  df-shft 10428
This theorem is referenced by:  shftval4g  10450  eftlub  11194
  Copyright terms: Public domain W3C validator