Theorem fsumge1 12040

Description: A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
fsumge1.4	|- ( k = M -> B = C )
fsumge1.5	|- ( ph -> M e. A )

Assertion

Ref	Expression
fsumge1	|- ( ph -> C <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   C, k   k, M   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge1.5	. . 3 |- ( ph -> M e. A )
2		fsumge1.4	. . . . 5 |- ( k = M -> B = C )
3	2	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
4		fsumge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
5	4	recnd 8208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
6	5	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
7	3, 6, 1	rspcdva 2915	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
8	2	sumsn 11990	. . 3 |- ( ( M e. A /\ C e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = C )
9	1, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = C )
10		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
11		fsumge0.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
12	1	snssd 3818	. . 3 |- ( ph -> { M } C_ A )
13		snfig 6989	. . . 4 |- ( M e. A -> { M } e. Fin )
14	1, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { M } e. Fin )
15	10, 4, 11, 12, 14	fsumlessfi 12039	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B <_ sum_ k e. A B )
16	9, 15	eqbrtrrd 4112	1 |- ( ph -> C <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   class class class wbr 4088   Fincfn 6909   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   <_ cle 8215   sum_csu 11931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-ico 10129  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857  df-sumdc 11932

This theorem is referenced by:  mertenslemub  12113