ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumge1 Unicode version

Theorem fsumge1 11461
Description: A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumge1.4  |-  ( k  =  M  ->  B  =  C )
fsumge1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
Assertion
Ref Expression
fsumge1  |-  ( ph  ->  C  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, M    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumge1
StepHypRef Expression
1 fsumge1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
2 fsumge1.4 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  B  =  C )
32eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4 fsumge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
54recnd 7981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65ralrimiva 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
73, 6, 1rspcdva 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
82sumsn 11411 . . 3  |-  ( ( M  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } B  =  C )
91, 7, 8syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } B  =  C )
10 fsumge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
11 fsumge0.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
121snssd 3737 . . 3  |-  ( ph  ->  { M }  C_  A )
13 snfig 6810 . . . 4  |-  ( M  e.  A  ->  { M }  e.  Fin )
141, 13syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
1510, 4, 11, 12, 14fsumlessfi 11460 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } B  <_  sum_ k  e.  A  B )
169, 15eqbrtrrd 4026 1  |-  ( ph  ->  C  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3592   class class class wbr 4002   Fincfn 6736   CCcc 7805   RRcr 7806   0cc0 7807    <_ cle 7988   sum_csu 11353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-ico 9889  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-ihash 10748  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-sumdc 11354
This theorem is referenced by:  mertenslemub  11534
  Copyright terms: Public domain W3C validator