Theorem trivsubgsnd 13787

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgsnd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgsnd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgsnd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	|- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> B = { .0. } )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13786	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x = B )
9		velsn 3686	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. { B } )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( x e. (SubGrp ` G ) -> x e. { B } ) )
12	11	ssrdv 3233	. 2 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) C_ { B } )
13	1	subgid 13761	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` G ) )
15	14	snssd 3818	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (SubGrp ` G ) )
16	12, 15	eqssd 3244	1 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   ` cfv 5326   Basecbs 13081   0gc0g 13338   Grpcgrp 13582  SubGrpcsubg 13753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13803