Theorem trivsubgsnd 13981

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgsnd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgsnd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgsnd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	|- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> B = { .0. } )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13980	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x = B )
9		velsn 3722	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. { B } )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( x e. (SubGrp ` G ) -> x e. { B } ) )
12	11	ssrdv 3254	. 2 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) C_ { B } )
13	1	subgid 13955	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` G ) )
15	14	snssd 3855	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (SubGrp ` G ) )
16	12, 15	eqssd 3265	1 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   ` cfv 5372   Basecbs 13330   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782  SubGrpcsubg 13947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13997