Theorem trivsubgsnd 13652

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgsnd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgsnd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgsnd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	|- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> B = { .0. } )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x = B )
9		velsn 3660	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. { B } )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( x e. (SubGrp ` G ) -> x e. { B } ) )
12	11	ssrdv 3207	. 2 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) C_ { B } )
13	1	subgid 13626	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` G ) )
15	14	snssd 3789	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (SubGrp ` G ) )
16	12, 15	eqssd 3218	1 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   ` cfv 5290   Basecbs 12947   0gc0g 13203   Grpcgrp 13447  SubGrpcsubg 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13668