Theorem trivsubgsnd 13157

Description: The only subgroup of a trivial group is itself. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trivsubgsnd.1	|- B = ( Base ` G )
trivsubgsnd.2	|- .0. = ( 0g ` G )
trivsubgsnd.3	|- ( ph -> G e. Grp )
trivsubgsnd.4	|- ( ph -> B = { .0. } )

Assertion

Ref	Expression
trivsubgsnd	|- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Proof of Theorem trivsubgsnd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trivsubgsnd.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		trivsubgsnd.2	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
3		trivsubgsnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Grp )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> G e. Grp )
5		trivsubgsnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = { .0. } )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> B = { .0. } )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
8	1, 2, 4, 6, 7	trivsubgd 13156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x = B )
9		velsn 3624	. . . . 5 |- ( x e. { B } <-> x = B )
10	8, 9	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. (SubGrp ` G ) ) -> x e. { B } )
11	10	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( x e. (SubGrp ` G ) -> x e. { B } ) )
12	11	ssrdv 3176	. 2 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) C_ { B } )
13	1	subgid 13131	. . . 4 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
14	3, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> B e. (SubGrp ` G ) )
15	14	snssd 3752	. 2 |- ( ph -> { B } C_ (SubGrp ` G ) )
16	12, 15	eqssd 3187	1 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) = { B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   ` cfv 5235   Basecbs 12515   0gc0g 12764   Grpcgrp 12960  SubGrpcsubg 13123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-subg 13126

This theorem is referenced by:  trivnsgd  13173