Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnpdis Unicode version

Theorem cnpdis 12602
 Description: If is an isolated point in (or equivalently, the singleton is open in ), then every function is continuous at . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnpdis TopOn TopOn

Proof of Theorem cnpdis
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 525 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
2 simpll3 1023 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
3 snidg 3589 . . . . . . . . 9
42, 3syl 14 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
5 simprr 522 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
6 simplrr 526 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
7 ffn 5316 . . . . . . . . . . 11
8 elpreima 5583 . . . . . . . . . . 11
96, 7, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
102, 5, 9mpbir2and 929 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1110snssd 3701 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
12 eleq2 2221 . . . . . . . . . 10
13 sseq1 3151 . . . . . . . . . 10
1412, 13anbi12d 465 . . . . . . . . 9
1514rspcev 2816 . . . . . . . 8
161, 4, 11, 15syl12anc 1218 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1716expr 373 . . . . . 6 TopOn TopOn
1817ralrimiva 2530 . . . . 5 TopOn TopOn
1918expr 373 . . . 4 TopOn TopOn
2019pm4.71d 391 . . 3 TopOn TopOn
21 simpl2 986 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
22 toponmax 12383 . . . . 5 TopOn
2321, 22syl 14 . . . 4 TopOn TopOn
24 simpl1 985 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
25 toponmax 12383 . . . . 5 TopOn
2624, 25syl 14 . . . 4 TopOn TopOn
2723, 26elmapd 6600 . . 3 TopOn TopOn
28 iscnp3 12563 . . . 4 TopOn TopOn
2928adantr 274 . . 3 TopOn TopOn
3020, 27, 293bitr4rd 220 . 2 TopOn TopOn
3130eqrdv 2155 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436   wss 3102  csn 3560  ccnv 4582  cima 4586   wfn 5162  wf 5163  cfv 5167  (class class class)co 5818   cmap 6586  TopOnctopon 12368   ccnp 12546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-map 6588  df-top 12356  df-topon 12369  df-cnp 12549 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator