Theorem srgridm 14098

Description: The unity element of a semiring is a right multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgidm.b	|- B = ( Base ` R )
srgidm.t	|- .x. = ( .r ` R )
srgidm.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
srgridm	|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. .1. ) = X )

Proof of Theorem srgridm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgidm.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		srgidm.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
3		srgidm.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	srgidmlem 14096	. 2 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( .1. .x. X ) = X /\ ( X .x. .1. ) = X ) )
5	4	simprd 114	1 |- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( X .x. .1. ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5343  (class class class)co 6041   Basecbs 13186   .rcmulr 13265   1rcur 14077  SRingcsrg 14081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-ltxr 8301  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-base 13192  df-sets 13193  df-plusg 13277  df-mulr 13278  df-0g 13445  df-mgm 13543  df-sgrp 13589  df-mnd 13604  df-mgp 14039  df-ur 14078  df-srg 14082

This theorem is referenced by:  srgpcomp  14108