ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txswaphmeo GIF version
Theorem txswaphmeo 13906
Description: There is a homeomorphism from 𝑋 Γ— π‘Œ to π‘Œ Γ— 𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeo ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(𝐾 Γ—t 𝐽)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Proof of Theorem txswaphmeo
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 simpr 110 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
31, 2cnmpt2nd 13874 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
41, 2cnmpt1st 13873 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
51, 2, 3, 4cnmpt2t 13878 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn (𝐾 Γ—t 𝐽)))
6 opelxpi 4660 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ (π‘Œ Γ— 𝑋))
76ancoms 268 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ (π‘Œ Γ— 𝑋))
87adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ (π‘Œ Γ— 𝑋))
98ralrimivva 2559 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ (π‘Œ Γ— 𝑋))
10 eqid 2177 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)
1110fmpo 6204 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∈ (π‘Œ Γ— 𝑋) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(π‘Œ Γ— 𝑋))
129, 11sylib 122 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(π‘Œ Γ— 𝑋))
13 opelxpi 4660 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
1413ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
1514adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
1615ralrimivva 2559 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
17 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)
1817fmpo 6204 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©):(π‘Œ Γ— 𝑋)⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
1916, 18sylib 122 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©):(π‘Œ Γ— 𝑋)⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
20 txswaphmeolem 13905 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = ( I β†Ύ (π‘Œ Γ— 𝑋))
21 txswaphmeolem 13905 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)) = ( I β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))
22 fcof1o 5792 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(π‘Œ Γ— 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©):(π‘Œ Γ— 𝑋)⟢(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∘ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)) = ( I β†Ύ (π‘Œ Γ— 𝑋)) ∧ ((𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩)) = ( I β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ Γ— 𝑋) ∧ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
2320, 21, 22mpanr12 439 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(π‘Œ Γ— 𝑋) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©):(π‘Œ Γ— 𝑋)⟢(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ Γ— 𝑋) ∧ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
2412, 19, 23syl2anc 411 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ Γ— 𝑋) ∧ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©)))
2524simprd 114 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) = (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©))
262, 1cnmpt2nd 13874 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ π‘₯) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
272, 1cnmpt1st 13873 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
282, 1, 26, 27cnmpt2t 13878 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ, π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
2925, 28eqeltrd 2254 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
30 ishmeo 13889 . 2 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(𝐾 Γ—t 𝐽)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn (𝐾 Γ—t 𝐽)) ∧ β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn (𝐽 Γ—t 𝐾))))
315, 29, 30sylanbrc 417 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(𝐾 Γ—t 𝐽)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βŸ¨cop 3597   I cid 4290   Γ— cxp 4626  β—‘ccnv 4627   β†Ύ cres 4630   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5217  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770   Γ—t ctx 13837  Homeochmeo 13885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773  df-tx 13838  df-hmeo 13886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator