Theorem xle0neg2 9871

Description: Extended real version of le0neg2 8458. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xle0neg2	|- ( A e. RR* -> ( 0 <_ A <-> -e A <_ 0 ) )

Proof of Theorem xle0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8034	. . 3 |- 0 e. RR*
2		xleneg 9867	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( 0 <_ A <-> -e A <_ -e 0 ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ A <-> -e A <_ -e 0 ) )
4		xneg0 9861	. . 3 |- -e 0 = 0
5	4	breq2i 4026	. 2 |- ( -e A <_ -e 0 <-> -e A <_ 0 )
6	3, 5	bitrdi 196	1 |- ( A e. RR* -> ( 0 <_ A <-> -e A <_ 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   0cc0 7841   RR*cxr 8021   <_ cle 8023   -ecxne 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-xneg 9802

This theorem is referenced by: (None)