Theorem xleneg 10033

Description: Extended real version of leneg 8612. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleneg	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )

Proof of Theorem xleneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltneg 10032	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A <-> -e A < -e B ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> -e A < -e B ) )
3	2	notbid 671	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. -e A < -e B ) )
4		xrlenlt 8211	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xnegcl 10028	. . 3 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 10028	. . 3 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
7		xrlenlt 8211	. . 3 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( -e B <_ -e A <-> -. -e A < -e B ) )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ -e A <-> -. -e A < -e B ) )
9	3, 4, 8	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RR*cxr 8180   < clt 8181   <_ cle 8182   -ecxne 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-xneg 9968

This theorem is referenced by:  xle0neg1  10036  xle0neg2  10037  xrminmax  11776  xrmin1inf  11778  xrmin2inf  11779  xrmineqinf  11780  xrlemininf  11782