Theorem xleneg 10071

Description: Extended real version of leneg 8644. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xleneg	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )

Proof of Theorem xleneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltneg 10070	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < A <-> -e A < -e B ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> -e A < -e B ) )
3	2	notbid 673	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. -e A < -e B ) )
4		xrlenlt 8243	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xnegcl 10066	. . 3 |- ( B e. RR* -> -e B e. RR* )
6		xnegcl 10066	. . 3 |- ( A e. RR* -> -e A e. RR* )
7		xrlenlt 8243	. . 3 |- ( ( -e B e. RR* /\ -e A e. RR* ) -> ( -e B <_ -e A <-> -. -e A < -e B ) )
8	5, 6, 7	syl2anr 290	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -e B <_ -e A <-> -. -e A < -e B ) )
9	3, 4, 8	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -e B <_ -e A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214   -ecxne 10003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-xneg 10006

This theorem is referenced by:  xle0neg1  10074  xle0neg2  10075  xrminmax  11825  xrmin1inf  11827  xrmin2inf  11828  xrmineqinf  11829  xrlemininf  11831