Theorem xpsff1o2 12777

Description: The function appearing in xpsval 12778 is a bijection from the cartesian product to the indexed cartesian product indexed on the pair 2_o = {∅, 1_o}. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsff1o2	⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsff1o2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
2	1	xpsff1o 12775	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1of1 5462	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		f1f1orn 5474	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1→X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹)
5	2, 3, 4	mp2b 8	1 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→ran 𝐹

Syntax hints:   = wceq 1353  ∅c0 3424  ifcif 3536  {cpr 3595  ⟨cop 3597   × cxp 4626  ran crn 4629  –1-1→wf1 5215  –1-1-onto→wf1o 5217   ∈ cmpo 5880  1_oc1o 6413  2_oc2o 6414  Xcixp 6701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-1o 6420  df-2o 6421  df-er 6538  df-ixp 6702  df-en 6744  df-fin 6746

This theorem is referenced by: (None)