ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xle2add Unicode version
Theorem xle2add 9692
Description: Extended real version of le2add 8230. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> A e. RR* )
2 simprl 521 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> C e. RR* )
3 simplr 520 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> B e. RR* )
4 xleadd1a 9686 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ C ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) )
54ex 114 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
7 simprr 522 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> D e. RR* )
8 xleadd2a 9687 . . . 4 |- ( ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) /\ B <_ D ) -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) )
98ex 114 . . 3 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
103, 7, 2, 9syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
11 xaddcl 9673 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
1211adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
13 xaddcl 9673 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C +e B ) e. RR* )
142, 3, 13syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e B ) e. RR* )
15 xaddcl 9673 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C +e D ) e. RR* )
1615adantl 275 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e D ) e. RR* )
17 xrletr 9621 . . 3 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ ( C +e B ) e. RR* /\ ( C +e D ) e. RR* ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1217 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
196, 10, 18syl2and 293 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RR*cxr 7823   <_ cle 7825   +ecxad 9587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-xadd 9590
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11077  xmetxp  12715
  Copyright terms: Public domain W3C validator