ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xle2add Unicode version
Theorem xle2add 10298
Description: Extended real version of le2add 8779. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 531 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> A e. RR* )
2 simprl 535 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> C e. RR* )
3 simplr 533 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> B e. RR* )
4 xleadd1a 10292 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ C ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) )
54ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
7 simprr 537 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> D e. RR* )
8 xleadd2a 10293 . . . 4 |- ( ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) /\ B <_ D ) -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) )
98ex 115 . . 3 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
103, 7, 2, 9syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
11 xaddcl 10279 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
1211adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
13 xaddcl 10279 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C +e B ) e. RR* )
142, 3, 13syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e B ) e. RR* )
15 xaddcl 10279 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C +e D ) e. RR* )
1615adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e D ) e. RR* )
17 xrletr 10227 . . 3 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ ( C +e B ) e. RR* /\ ( C +e D ) e. RR* ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
196, 10, 18syl2and 295 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RR*cxr 8365   <_ cle 8367   +ecxad 10189
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-xadd 10192
This theorem is used by:  xrbdtri  12067  xmetxp  15733
  Copyright terms: Public domain W3C validator