ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xle2add Unicode version
Theorem xle2add 9954
Description: Extended real version of le2add 8471. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> A e. RR* )
2 simprl 529 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> C e. RR* )
3 simplr 528 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> B e. RR* )
4 xleadd1a 9948 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ C ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) )
54ex 115 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
7 simprr 531 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> D e. RR* )
8 xleadd2a 9949 . . . 4 |- ( ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) /\ B <_ D ) -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) )
98ex 115 . . 3 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
103, 7, 2, 9syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
11 xaddcl 9935 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
1211adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
13 xaddcl 9935 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C +e B ) e. RR* )
142, 3, 13syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e B ) e. RR* )
15 xaddcl 9935 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C +e D ) e. RR* )
1615adantl 277 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e D ) e. RR* )
17 xrletr 9883 . . 3 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ ( C +e B ) e. RR* /\ ( C +e D ) e. RR* ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
196, 10, 18syl2and 295 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RR*cxr 8060   <_ cle 8062   +ecxad 9845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-xadd 9848
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11441  xmetxp  14743
  Copyright terms: Public domain W3C validator