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Theorem xrltso 9794

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9777	. . . . 5
2	1	adantl 277	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9793	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4304	. . 3
6	5	mptru 1362	. 2
7		elxr 9774	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9774	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9774	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 8023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 8001	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 4007	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 673	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 619	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9785	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 4006	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 673	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 979	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 184	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 733	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 4013	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 711	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 163	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 797	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 268	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1306	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1194	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1276	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1208	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2564	. 2 $\/$
96		df-iso 4297	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 942	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $\/$ w3o 977 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wtru 1354

wcel 2148

wral 2455 class class class wbr 4003

wpo 4294

wor 4295

cr 7809

cpnf 7987

cmnf 7988

cxr 7989

clt 7990

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2739 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-br 4004 df-opab 4065 df-po 4296 df-iso 4297 df-xp 4632 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995

This theorem is referenced by: xrlelttr 9804 xrltletr 9805 xrletr 9806 xrmaxiflemlub 11251

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