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Theorem xrltso 9871

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9854	. . . . 5
2	1	adantl 277	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9870	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4339	. . 3
6	5	mptru 1373	. 2
7		elxr 9851	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9851	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9851	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 8094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 8072	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9863	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 674	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 620	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1317	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9862	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 4036	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 674	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 620	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 981	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 184	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9861	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 734	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 712	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 798	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 268	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1317	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1196	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1287	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1210	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2584	. 2 $\/$
96		df-iso 4332	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 944	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $\/$ w3o 979 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wtru 1365

wcel 2167

wral 2475 class class class wbr 4033

wpo 4329

wor 4330

cr 7878

cpnf 8058

cmnf 8059

cxr 8060

clt 8061

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-rab 2484 df-v 2765 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-br 4034 df-opab 4095 df-po 4331 df-iso 4332 df-xp 4669 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066

This theorem is referenced by: xrlelttr 9881 xrltletr 9882 xrletr 9883 xrmaxiflemlub 11413

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