xrltso - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrltso		Unicode version

Theorem xrltso 9796

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9779	. . . . 5
2	1	adantl 277	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9795	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4305	. . 3
6	5	mptru 1362	. 2
7		elxr 9776	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9776	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9776	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 8025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1306	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 8003	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9788	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 4008	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 673	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 619	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1306	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9787	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 4007	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 673	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 619	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 979	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 184	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 4007	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 733	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2197	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 4014	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 711	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 163	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 797	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 268	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1306	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1194	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1276	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1208	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2564	. 2 $\/$
96		df-iso 4298	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 942	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $\/$ w3o 977 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wtru 1354

wcel 2148

wral 2455 class class class wbr 4004

wpo 4295

wor 4296

cr 7810

cpnf 7989

cmnf 7990

cxr 7991

clt 7992

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2740 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-br 4005 df-opab 4066 df-po 4297 df-iso 4298 df-xp 4633 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997

This theorem is referenced by: xrlelttr 9806 xrltletr 9807 xrletr 9808 xrmaxiflemlub 11256

W3C validator