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Theorem xrltso 9732

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9715	. . . . 5
2	1	adantl 275	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9731	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 275	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4282	. . 3
6	5	mptru 1352	. 2
7		elxr 9712	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9712	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9712	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 7966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 397	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1296	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 397	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 7944	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9724	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 663	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 609	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1296	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 397	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9723	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 3985	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 663	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 609	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 969	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 183	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9722	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 723	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2185	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 701	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 787	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 266	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 469	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1296	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1184	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1266	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1198	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2553	. 2 $\/$
96		df-iso 4275	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 932	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 698 $\/$ w3o 967 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wtru 1344

wcel 2136

wral 2444 class class class wbr 3982

wpo 4272

wor 4273

cr 7752

cpnf 7930

cmnf 7931

cxr 7932

clt 7933

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-sep 4100 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-rab 2453 df-v 2728 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-br 3983 df-opab 4044 df-po 4274 df-iso 4275 df-xp 4610 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938

This theorem is referenced by: xrlelttr 9742 xrltletr 9743 xrletr 9744 xrmaxiflemlub 11189

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