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Theorem xrltso 9582

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9566	. . . . 5
2	1	adantl 275	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9581	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 275	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4226	. . 3
6	5	mptru 1340	. 2
7		elxr 9563	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9563	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9563	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 7832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 396	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 396	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 7811	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9574	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 662	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 608	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1284	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 396	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9573	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 480	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 3932	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 662	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 608	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 963	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 183	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9572	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 722	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 3939	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 700	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 786	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 266	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 468	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1284	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1176	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1254	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1186	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2519	. 2 $\/$
96		df-iso 4219	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 926	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 697 $\/$ w3o 961 $/\$ w3a 962

wceq 1331

wtru 1332

wcel 1480

wral 2416 class class class wbr 3929

wpo 4216

wor 4217

cr 7619

cpnf 7797

cmnf 7798

cxr 7799

clt 7800

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-sep 4046 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-rab 2425 df-v 2688 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-br 3930 df-opab 3990 df-po 4218 df-iso 4219 df-xp 4545 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805

This theorem is referenced by: xrlelttr 9589 xrltletr 9590 xrletr 9591 xrmaxiflemlub 11017

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