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Theorem xrltso 10030

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 10013	. . . . 5
2	1	adantl 277	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 10029	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4401	. . 3
6	5	mptru 1406	. 2
7		elxr 10010	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 10010	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 10010	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 8246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 10014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 8224	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1342	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 399	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 268	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 10021	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 4091	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 277	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 624	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 1005	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 184	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 740	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2251	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 718	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 804	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 268	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 477	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1342	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1220	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1311	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1234	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2619	. 2 $\/$
96		df-iso 4394	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 950	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 $\/$ w3o 1003 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wtru 1398

wcel 2202

wral 2510 class class class wbr 4088

wpo 4391

wor 4392

cr 8030

cpnf 8210

cmnf 8211

cxr 8212

clt 8213

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-rab 2519 df-v 2804 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-br 4089 df-opab 4151 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218

This theorem is referenced by: xrlelttr 10040 xrltletr 10041 xrletr 10042 xrmaxiflemlub 11808

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