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Theorem xrltso 9753

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9736	. . . . 5
2	1	adantl 275	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9752	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 275	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4289	. . 3
6	5	mptru 1357	. 2
7		elxr 9733	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9733	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9733	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 7987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1301	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 397	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1301	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 397	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 7965	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 614	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1301	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 397	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9744	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 3992	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 614	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 974	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 183	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9743	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 728	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2190	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 706	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 792	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 285	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 266	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 474	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1301	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1189	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1271	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1203	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2557	. 2 $\/$
96		df-iso 4282	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 937	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 703 $\/$ w3o 972 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wtru 1349

wcel 2141

wral 2448 class class class wbr 3989

wpo 4279

wor 4280

cr 7773

cpnf 7951

cmnf 7952

cxr 7953

clt 7954

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-rab 2457 df-v 2732 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-br 3990 df-opab 4051 df-po 4281 df-iso 4282 df-xp 4617 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959

This theorem is referenced by: xrlelttr 9763 xrltletr 9764 xrletr 9765 xrmaxiflemlub 11211

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