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Theorem xrltso 9475

Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrltso

Proof of Theorem xrltso Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnr 9459	. . . . 5
2	1	adantl 273	. . . 4 $/\$
3		xrlttr 9474	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	adantl 273	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 4	ispod 4186	. . 3
6	5	mptru 1323	. 2
7		elxr 9456	. . . . 5 $\/$ $\/$
8		elxr 9456	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
9		elxr 9456	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$
10		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
11		simpll 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
12		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
13		axltwlin 7756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
15		ltpnf 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		breq2 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19	16, 18	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
20	19	orcd 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
21	20	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
22		mnflt 9462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
24		breq1 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
26	23, 25	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
27	26	olcd 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
29	14, 21, 28	3jaodan 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	9, 29	sylan2b 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
31	30	anasss 394	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
33		ltpnf 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
34	33	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
35		breq2 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
36	35	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
37	34, 36	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
38	37	olcd 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
39	38	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
40	15	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
41	17	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
43	42	orcd 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
44	43	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
45		mnfltpnf 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46		breq12 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
47	46	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
48	45, 47	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
49	48	adantlr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
50	49	olcd 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
52	39, 44, 51	3jaodan 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
53	9, 52	sylan2b 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
54	53	anasss 394	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
55	54	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
56		rexr 7735	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		nltmnf 9467	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
59	58	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
60		breq2 3899	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	adantl 273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	59, 61	mtbird 645	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	62	pm2.21d 591	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
64	32, 55, 63	3jaodan 1267	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
65	8, 64	sylan2b 283	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	anasss 394	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
67	66	ancoms 266	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
68		pnfnlt 9466	. . . . . . . . . 10
69	68	ad2antlr 478	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
70		breq1 3898	. . . . . . . . . 10
71	70	adantl 273	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	69, 71	mtbird 645	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	pm2.21d 591	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
74		df-3or 946	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
75	9, 74	bitri 183	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
76		mnfltxr 9465	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
77	76	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
78		breq1 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	78	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
80	77, 79	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
81	80	orcd 705	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
82	81	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $\/$
83		eqtr3 2134	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
84	83	breq1d 3905	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85		olc 683	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
86	84, 85	syl6bi 162	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
87	82, 86	jaodan 769	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
88	75, 87	sylan2b 283	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
89	88	ancoms 266	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
90	89	adantlr 466	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
91	67, 73, 90	3jaodan 1267	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
92	91	3impa 1159	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
93	7, 92	syl3an3b 1237	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
94	93	3com13 1169	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
95	94	rgen3 2493	. 2 $\/$
96		df-iso 4179	. 2 $/\$ $\/$
97	6, 95, 96	mpbir2an 909	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 680 $\/$ w3o 944 $/\$ w3a 945

wceq 1314

wtru 1315

wcel 1463

wral 2390 class class class wbr 3895

wpo 4176

wor 4177

cr 7546

cpnf 7721

cmnf 7722

cxr 7723

clt 7724

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-cnex 7636 ax-resscn 7637 ax-pre-ltirr 7657 ax-pre-ltwlin 7658 ax-pre-lttrn 7659

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-nel 2378 df-ral 2395 df-rex 2396 df-rab 2399 df-v 2659 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-br 3896 df-opab 3950 df-po 4178 df-iso 4179 df-xp 4505 df-pnf 7726 df-mnf 7727 df-xr 7728 df-ltxr 7729

This theorem is referenced by: xrlelttr 9482 xrltletr 9483 xrletr 9484 xrmaxiflemlub 10909

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