ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltso Unicode version

Theorem xrltso 9235
Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  |-  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltnr 9219 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  <  x )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
RR* )  ->  -.  x  <  x )
3 xrlttr 9234 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x  < 
y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z ) )
52, 4ispod 4122 . . 3  |-  ( T. 
->  <  Po  RR* )
65mptru 1298 . 2  |-  <  Po  RR*
7 elxr 9216 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  <->  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )
8 elxr 9216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  <->  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )
9 elxr 9216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )
10 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
11 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
12 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
13 axltwlin 7533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
15 ltpnf 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
1615ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
17 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = +oo  ->  (
x  <  z  <->  x  < +oo ) )
1817adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
1916, 18mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
2019orcd 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
22 mnflt 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  -> -oo  <  y )
2322ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  -> -oo  <  y )
24 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  = -oo  ->  (
z  <  y  <-> -oo  <  y
) )
2524adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( z  < 
y  <-> -oo  <  y )
)
2623, 25mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
2726olcd 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
2827a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
2914, 21, 283jaodan 1242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
309, 29sylan2b 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3130anasss 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
3231ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
33 ltpnf 9220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  < +oo )
3433adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  < +oo )
35 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  = +oo  ->  (
z  <  y  <->  z  < +oo ) )
3635ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
y  <->  z  < +oo ) )
3734, 36mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  z  <  y
)
3837olcd 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
4015ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  < +oo )
4117adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  <->  x  < +oo )
)
4240, 41mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  x  <  z
)
4342orcd 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
4443a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
45 mnfltpnf 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- -oo  < +oo
46 breq12 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  = -oo  /\  y  = +oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4746ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  ( z  <  y  <-> -oo 
< +oo ) )
4845, 47mpbiri 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  = +oo  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y )
4948adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  z  <  y
)
5049olcd 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
z  \/  z  < 
y ) )
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5239, 44, 513jaodan 1242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
539, 52sylan2b 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  = +oo  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5453anasss 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  = +oo  /\  ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
5554ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
56 rexr 7512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
57 nltmnf 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  x  < -oo )
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  < -oo )
5958ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  < -oo )
60 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  = -oo  ->  (
x  <  y  <->  x  < -oo ) )
6160adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  <->  x  < -oo )
)
6259, 61mtbird 633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  -.  x  <  y )
6362pm2.21d 584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6432, 55, 633jaodan 1242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  ( y  e.  RR  \/  y  = +oo  \/  y  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
658, 64sylan2b 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
6665anasss 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )
)  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
6766ancoms 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
68 pnfnlt 9226 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
6968ad2antlr 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -. +oo  <  y
)
70 breq1 3840 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  = +oo  ->  (
x  <  y  <-> +oo  <  y
) )
7170adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  <-> +oo  <  y )
)
7269, 71mtbird 633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  -.  x  <  y )
7372pm2.21d 584 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = +oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
74 df-3or 925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo  \/  z  = -oo )  <->  ( (
z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
759, 74bitri 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR*  <->  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )
76 mnfltxr 9225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  -> -oo  <  z )
7776adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  -> -oo  <  z )
78 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  = -oo  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
7978adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  <-> -oo  <  z
) )
8077, 79mpbird 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  x  <  z )
8180orcd 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8281a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( z  e.  RR  \/  z  = +oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
83 eqtr3 2107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  x  =  z )
8483breq1d 3847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  <->  z  <  y ) )
85 olc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  <  y  ->  (
x  <  z  \/  z  <  y ) )
8684, 85syl6bi 161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  = -oo )  ->  ( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8782, 86jaodan 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  = -oo  /\  ( ( z  e.  RR  \/  z  = +oo )  \/  z  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8875, 87sylan2b 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  = -oo  /\  z  e.  RR* )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
8988ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  x  = -oo )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9089adantlr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  x  = -oo )  ->  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) )
9167, 73, 903jaodan 1242 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
92913impa 1138 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  ( x  e.  RR  \/  x  = +oo  \/  x  = -oo ) )  -> 
( x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
937, 92syl3an3b 1212 . . . 4  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
94933com13 1148 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
9594rgen3 2460 . 2  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  A. z  e.  RR*  ( x  <  y  -> 
( x  <  z  \/  z  <  y ) )
96 df-iso 4115 . 2  |-  (  < 
Or  RR*  <->  (  <  Po  RR* 
/\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  A. z  e.  RR*  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) ) )
976, 95, 96mpbir2an 888 1  |-  <  Or  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    \/ w3o 923    /\ w3a 924    = wceq 1289   T. wtru 1290    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3837    Po wpo 4112    Or wor 4113   RRcr 7328   +oocpnf 7498   -oocmnf 7499   RR*cxr 7500    < clt 7501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506
This theorem is referenced by:  xrlelttr  9240  xrltletr  9241  xrletr  9242
  Copyright terms: Public domain W3C validator