Theorem xrnegcon1d 11446

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrnegcon1d.b	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	|- ( ph -> ( -e A = B <-> -e B = A ) )

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
2		xnegneg 9925	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	2	eqeq2d 2208	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( -e A = -e -e B <-> -e A = B ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( -e A = -e -e B <-> -e A = B ) )
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
6	1	xnegcld 9947	. . . 4 |- ( ph -> -e B e. RR* )
7		xneg11 9926	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( -e A = -e -e B <-> A = -e B ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( -e A = -e -e B <-> A = -e B ) )
9	4, 8	bitr3d 190	. 2 |- ( ph -> ( -e A = B <-> A = -e B ) )
10		eqcom 2198	. 2 |- ( A = -e B <-> -e B = A )
11	9, 10	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( -e A = B <-> -e B = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   RR*cxr 8077   -ecxne 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-sub 8216  df-neg 8217  df-xneg 9864

This theorem is referenced by:  xrminmax  11447  xrmineqinf  11451