Theorem xrnegcon1d 12030

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrnegcon1d.b	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	|- ( ph -> ( -e A = B <-> -e B = A ) )

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR* )
2		xnegneg 10235	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> -e -e B = B )
3	2	eqeq2d 2250	. . . 4 |- ( B e. RR* -> ( -e A = -e -e B <-> -e A = B ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( -e A = -e -e B <-> -e A = B ) )
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR* )
6	1	xnegcld 10257	. . . 4 |- ( ph -> -e B e. RR* )
7		xneg11 10236	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( -e A = -e -e B <-> A = -e B ) )
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( -e A = -e -e B <-> A = -e B ) )
9	4, 8	bitr3d 190	. 2 |- ( ph -> ( -e A = B <-> A = -e B ) )
10		eqcom 2240	. 2 |- ( A = -e B <-> -e B = A )
11	9, 10	bitrdi 196	1 |- ( ph -> ( -e A = B <-> -e B = A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   RR*cxr 8359   -ecxne 10171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-sub 8499  df-neg 8500  df-xneg 10174

This theorem is used by:  xrminmax  12031  xrmineqinf  12035